5.2.19 Mostre que a seguinte série é convergente.
Nota:
com
com
. A série aparece como uma expansão de série de
e igual a
, e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é convergente. Vamos usar como conteúdo teste de comparação assintótico (p-série) e a definição de duplo fatorial para reescrever o termo geral de forma mais manejável.
Passo 2
Usando as fórmulas
temos para o termo geral
:
Reconhecemos ainda o coeficiente binomial
, de modo que
Passo 3
Para avaliar o comportamento de
para
, aplicamos a fórmula de Stirling em forma aproximada:
Logo,
Substituindo em
, obtemos
Passo 4
Como para
grande existe constante
tal que
e a série
é convergente (p-série com
), concluímos por comparação que
também converge.
Resposta
A série é convergente, pois seu termo geral comporta-se como
, e
converge.