5.2.19 Mostre que a seguinte série é convergente.
\sum_{s=0}^{\infty} \frac{(2 s-1)!!}{(2 s)!!(2 s+1)}
Nota: (2 s-1)!!=(2 s-1)(2 s-3) \cdots 3 \cdot 1 com (-1)!!=1 ;(2 s)!!=(2 s)(2 s-2) \cdots 4 \cdot 2 com 0!!=1. A série aparece como uma expansão de série de \operatorname{sen}^{-1}(1) e igual a \pi / 2, e \operatorname{sen}^{-1} x \equiv \operatorname{arcsen} x \neq(\operatorname{sen} x)^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{s=0}^{\infty} \frac{(2 s-1)!!}{(2 s)!!\,(2 s+1)}
é convergente. Vamos usar como conteúdo teste de comparação assintótico (p-série) e a definição de duplo fatorial para reescrever o termo geral de forma mais manejável.

Passo 2

Usando as fórmulas
(2s-1)!!=\frac{(2s)!}{2^s\,s!}, \qquad (2s)!!=2^s\,s!,
temos para o termo geral a_s:
a_s=\frac{(2s-1)!!}{(2s)!!\,(2s+1)} =\frac{\displaystyle\frac{(2s)!}{2^s\,s!}}{\displaystyle 2^s\,s!\,(2s+1)} =\frac{(2s)!}{2^{2s}\,(s!)^2\,(2s+1)}.
Reconhecemos ainda o coeficiente binomial \binom{2s}{s}=\frac{(2s)!}{(s!)^2}, de modo que
a_s=\frac{1}{2s+1}\,\frac{\binom{2s}{s}}{4^s}.

Passo 3

Para avaliar o comportamento de a_s para s\to\infty, aplicamos a fórmula de Stirling em forma aproximada:
n!\sim\sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^n.
Logo,
\binom{2s}{s} =\frac{(2s)!}{(s!)^2} \sim\frac{\sqrt{4\pi s}\,\bigl(\frac{2s}{e}\bigr)^{2s}} {\bigl[\sqrt{2\pi s}\,(\frac{s}{e})^s\bigr]^2} =\frac{4^s}{\sqrt{\pi s}}.
Substituindo em a_s, obtemos
a_s\sim\frac{1}{2s+1}\,\frac{1}{\sqrt{\pi s}} \sim\frac{1}{2\sqrt{\pi}\,s^{3/2}}.

Passo 4

Como para s grande existe constante C>0 tal que
a_s\le \frac{C}{s^{3/2}},
e a série \sum 1/s^{3/2} é convergente (p-série com p=3/2>1), concluímos por comparação que
\sum_{s=0}^{\infty}a_s
também converge.

Resposta

A série é convergente, pois seu termo geral comporta-se como \displaystyle O(s^{-3/2}), e \sum s^{-3/2} converge.

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