Determine o inverso, conjugado e módulo dos seguintes números:
z=12+i

Passo 1

O enunciado nos pede o inverso z^-1, o conjugado z e o módulo lvert zrvert do número complexo
z = 12 + i
Os conceitos básicos são: para z=a+ib vale
z=a-ib,
lvert zrvert=raiza^2+b^2
e
z^-1=1z=zlvert zrvert^2

Passo 2

Primeiro escrevemos z na forma a+ib racionais, racionalizando o denominador:
z = 12+icdot2-i2-i = 2-i(2+i)(2-i) = 2-i4+1 = 2-i5 = 25-i5

Passo 3

O conjugado troca i por -i, logo
z = 25 + i5 = 2+i5

Passo 4

O módulo é
lvert zrvert = raizl(tfrac25r)^2+l(-tfrac15r)^2 = raiz4+125 = raiz525 = 1raiz5

Passo 5

Para o inverso usamos
z^-1 = zlvert zrvert^2 = 2+i5l(1raiz5r)^2 = 2+i515 = 2 + i

Resposta

Inverso: 2 + i
Conjugado: 2 + i5
Módulo: 1raiz5

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