Determine o maior disco centrado na origem, onde a função
seja simples.
Passo 1
O enunciado pede o maior disco centrado na origem em que a função
seja simples (isto é, injetiva). Vamos usar que
é uma função inteira periódica de período
:
se existirem tais que
, então
se existirem
para algum
.
Passo 2
Para garantir injetividade em um disco
, não podemos ter dois pontos
com
Mas em qualquer disco de raio
, a distância máxima entre dois pontos é
. Logo, para não caber nenhuma diferença de módulo
, basta exigir para o menor caso
:
Passo 3
Concluímos que se
então não há dentro do disco dois pontos que diferem por
, e assim
é injetiva em
. Por outro lado, se
, então o disco atinge valores de imaginária
r com
, e podemos encontrar
ambos em
e com
, o que anula a injetividade.
Passo 4
Portanto, o maior disco centrado na origem onde
é simples é aquele de raio exatamente
, no sentido de disco aberto.
Resposta
O maior disco é