Determine o maior disco centrado na origem, onde a função w=e^z seja simples.

Passo 1

O enunciado pede o maior disco centrado na origem em que a função
w = e^z
seja simples (isto é, injetiva). Vamos usar que e^z é uma função inteira periódica de período 2pi i:
se existirem z1neq z2 tais que e^z1=e^z2, então
z1-z2=2pi i k
para algum kinZsetminus0.

Passo 2

Para garantir injetividade em um disco D(0,r)=z:|z|<r, não podemos ter dois pontos z1,z2in D(0,r) com
z1-z2=2pi i k, kneq0
Mas em qualquer disco de raio r, a distância máxima entre dois pontos é 2r. Logo, para não caber nenhuma diferença de módulo lvert2pi krvert, basta exigir para o menor caso k=pm1:
2r < |2pi| Longrightarrow r<pi

Passo 3

Concluímos que se r<pi então não há dentro do disco dois pontos que diferem por 2pi i, e assim e^z é injetiva em D(0,r). Por outro lado, se r>=pi, então o disco atinge valores de imaginária pmr com 2r>=2pi, e podemos encontrar
z1=i,r, z2=i(r-2pi)
ambos em D(0,r) e com z1-z2=2pi i, o que anula a injetividade.

Passo 4

Portanto, o maior disco centrado na origem onde e^z é simples é aquele de raio exatamente pi, no sentido de disco aberto.

Resposta

O maior disco é
,zinC:|z|<pi

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