Mostre que f(z)=(1-i z)^3 não é função simples no semiplano Im z>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(z)=(1-i,z)^3
não é “função simples” no semiplano Im z>0. Aqui vamos entender “função simples” como uma função holomorfa e injetora. Para provar que f não é simples, basta encontrar dois pontos distintos em Im z>0 que têm a mesma imagem em f.

Passo 2

Faça a mudança de variável
w = 1 - i,z
Então
f(z) = (1 - i,z)^3 = w^3,
e a condição Im z>0 equivale a
Im z>0 ;Long<=ftrightarrow; Iml(i,zr)=Re z<0 ;Long<=ftrightarrow; Re w = Re(1 - i z)=1+Re z<1
Logo, z está no semiplano superior se e somente se w satisfaz Re w<1.

Passo 3

Escolha um valor de saída simples, por exemplo
f(z)=8
Então devemos resolver
w^3=8
As raízes são
w1=2, w2=2e^2pi i/3=-1+iraiz3, w3=2e^4pi i/3=-1-iraiz3

Passo 4

Para cada wk definimos
zk = il(1 - wkr)
– Para w1=2 vem Re w1=2not<1, logo z1notinIm z>0.
– Para w2=-1+iraiz3 temos Re w2=-1<1, e
z2=il(1-(-1+iraiz3)r) =i(2 - iraiz3) =2i+raiz3,
cuja parte imaginária é 2>0.
– Para w3=-1-iraiz3 temos Re w3=-1<1, e
z3=il(1-(-1-iraiz3)r) =i(2 + iraiz3) =2i-raiz3,
cuja parte imaginária também é 2>0.
Logo z2neq z3 estão no semiplano Im z>0 e
f(z2) = w2^3 = 8 = w3^3 = f(z3),
o que mostra que f não é injetora em Im z>0.

Resposta

f não é função simples no semiplano Im z>0 porque não é injetora: encontramos z2neq z3 em Im z>0 tais que f(z2)=f(z3).

Exercícios de Livros Relacionados