Mostre que
é função simples no semiplano
, mas não em regiões que contenham o ponto
. Sugestão: Toda região que contenha o ponto
conterá uma vizinhança desse ponto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é unívoca (ou simples) no semiplano
, mas deixa de ser simples em qualquer região que contenha o ponto
.
Conteúdo: vamos usar o critério de Noshiro–Warschawski (se em uma região, então
é unívoca nela) e o fato de que
nula impede univalência local.
Conteúdo: vamos usar o critério de Noshiro–Warschawski (se
Passo 2
Calculemos a derivada
No semiplano
temos
logo
em todo esse semiplano.
Passo 3
Pelo critério de Noshiro–Warschawski, uma função analítica cuja derivada tem parte real estritamente positiva em uma região simplesmente conexa é unívoca nessa região. Como o semiplano
é simplesmente conexo e
ali, concluímos que
é unívoca nesse semiplano.
Passo 4
Se uma região
contém o ponto
, então ela contém alguma vizinhança aberta de
. Mas em
temos
Pelo Teorema da Função Inversa, como
, a função não pode ser injetiva em nenhuma vizinhança de
. Portanto,
não é unívoca em nenhuma região que contenha esse ponto.
Resposta
A função
é simples no semiplano
e não é simples em qualquer região que contenha
.