Mostre que w=z^2+z é função simples no semiplano Re z>-1 / 2, mas não em regiões que contenham o ponto z=-1 / 2. Sugestão: Toda região que contenha o ponto z=-1 / 2 conterá uma vizinhança desse ponto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
w=f(z)=z^2+z
é unívoca (ou simples) no semiplano Re z>-1/2, mas deixa de ser simples em qualquer região que contenha o ponto z=-1/2.
Conteúdo: vamos usar o critério de Noshiro–Warschawski (se Re f'(z)>0 em uma região, então f é unívoca nela) e o fato de que f' nula impede univalência local.

Passo 2

Calculemos a derivada
f'(z)=ddzl(z^2+zr)=2z+1
No semiplano Re z>-1/2 temos
Rel(2z+1r)=2,Re z+1>2l(-tfrac12r)+1=0,
logo Re f'(z)>0 em todo esse semiplano.

Passo 3

Pelo critério de Noshiro–Warschawski, uma função analítica cuja derivada tem parte real estritamente positiva em uma região simplesmente conexa é unívoca nessa região. Como o semiplano Re z>-1/2 é simplesmente conexo e Re f'(z)>0 ali, concluímos que f é unívoca nesse semiplano.

Passo 4

Se uma região U contém o ponto z=-1/2, então ela contém alguma vizinhança aberta de -1/2. Mas em z=-1/2 temos
f'(-tfrac12)=2l(-tfrac12r)+1=0
Pelo Teorema da Função Inversa, como f'(-tfrac12)=0, a função não pode ser injetiva em nenhuma vizinhança de -1/2. Portanto, f não é unívoca em nenhuma região que contenha esse ponto.

Resposta

A função w=z^2+z é simples no semiplano Re z>-1/2 e não é simples em qualquer região que contenha z=-1/2.

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