Prove que a composta de funções simples é uma função simples.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se psi e phi são funções simples, então a composição phicircpsi também é uma função simples. Vamos usar a definição de função simples:
1. assume apenas um número finito de valores, e
2. cada nível de valor tem pré\mbox{-}imagem mensurável.

Passo 2

Como psicolon X to R é simples, existem valores beta1,dots,betakinR e conjuntos mensuráveis
Ej ;=;psi^-1(betaj), j=1,dots,k,
que particionam X, de modo que psi(x)=betaj para todo xin Ej.

Passo 3

Como phicolon RtoR é simples, existem valores alpha1,dots,alphasinR e conjuntos mensuráveis
Fi ;=;phi^-1(alphai), i=1,dots,s,
que particionam R, de modo que phi(y)=alphai para todo yin Fi.

Passo 4

Para ver os níveis de phicircpsi, note que, para cada i,
(phicircpsi)^-1(alphai) =,xin Xmid phi(psi(x))=alphai =psi^-1l(phi^-1(alphai)r) =psi^-1(Fi)
Como Fi é mensurável e psi é mensurável (toda função simples é mensurável), segue que psi^-1(Fi) é mensurável.

Passo 5

A composição phicircpsi assume apenas os valores alpha1,dots,alphas (finitos) e cada nível (phicircpsi)^-1(alphai) é mensurável. Logo, phicircpsi satisfaz a definição de função simples.

Resposta

A composição phicircpsi é uma função simples.

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