Prove que a composta de funções simples é uma função simples.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são funções simples, então a composição
também é uma função simples. Vamos usar a definição de função simples:
. assume apenas um número finito de valores, e
. cada nível de valor tem pré\mbox{-}imagem mensurável.
Passo 2
Como
é simples, existem valores
e conjuntos mensuráveis
que particionam
, de modo que
para todo
.
Passo 3
Como
é simples, existem valores
e conjuntos mensuráveis
que particionam
, de modo que
para todo
.
Passo 4
Para ver os níveis de
, note que, para cada
,
Como
é mensurável e
é mensurável (toda função simples é mensurável), segue que
é mensurável.
Passo 5
A composição
assume apenas os valores
(finitos) e cada nível
é mensurável. Logo,
satisfaz a definição de função simples.
Resposta
A composição
é uma função simples.