Mostre que f(z)=(1-i z)^2 é função simples no semiplano Im z>-i, mas não em regiões que contenham o ponto z=-i.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(z) = (1 - i,z)^2
é “função simples” (isto é, unívoca e analítica sem necessidade de escolher ramo de potência ou logaritmo) no semiplano Im z>-i, mas não em qualquer região que contenha z=-i.

Passo 2

Note que é um polinômio em : primeiro aplicamos a transformação linear , depois elevamos ao quadrado. Como soma, produto e potência inteira de funções inteiras são funções inteiras, concluímos que

Passo 3

Uma função inteira não tem ambiguidades de ramo nem pontos singulares finitos. Logo ela é unívoca e analítica em qualquer região aberta de , inclusive num semiplano como .

Passo 4

Em particular, f é função simples no semiplano Im z>-i. Mas, como já é inteira, continua a ser simples mesmo em regiões que contenham z=-i: não há nenhum ramo a escolher nem singularidade em z=-i.

Resposta

A afirmação de que não seria simples em regiões que contenham é falsa. Sendo polinomial de grau 2, é inteira e, portanto, função simples em qualquer região aberta de .

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