Mostre que
é função simples no semiplano
, mas não em regiões que contenham o ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é “função simples” (isto é, unívoca e analítica sem necessidade de escolher ramo de potência ou logaritmo) no semiplano
, mas não em qualquer região que contenha
.
Passo 2
Note que
é um polinômio em
: primeiro aplicamos a transformação linear
, depois elevamos ao quadrado. Como soma, produto e potência inteira de funções inteiras são funções inteiras, concluímos que
Passo 3
Uma função inteira não tem ambiguidades de ramo nem pontos singulares finitos. Logo ela é unívoca e analítica em qualquer região aberta de , inclusive num semiplano como
.
Passo 4
Em particular,
é função simples no semiplano
. Mas, como já é inteira, continua a ser simples mesmo em regiões que contenham
: não há nenhum ramo a escolher nem singularidade em
.
Resposta
A afirmação de que
não seria simples em regiões que contenham
é falsa. Sendo polinomial de grau 2,
é inteira e, portanto, função simples em qualquer região aberta de .