Determine o maior e o menor valor da função dada no intervalo especificado.
f(x)=\frac{e^{-x / 2}}{x^{2}} \quad para -5 \leq x \leq-1

Passo 1

O enunciado pede o maior e o menor valor da função
f(x) = \frac{e^{-x/2}}{x^2}
no intervalo [-5,-1]. Como f é contínua em cada ponto desse intervalo fechado e diferenciável em (-5,-1), vamos achar os pontos críticos internos (onde f'(x)=0) e também avaliar f nas extremidades x=-5 e x=-1.

Passo 2

Usamos derivação logarítmica para simplificar o cálculo de f'(x). Primeiro escrevemos
\ln f(x) = \ln\bigl(e^{-x/2}\bigr) - \ln\bigl(x^2\bigr) = -\frac{x}{2} - 2\ln(-x),
pois em [-5,-1] temos |x|=-x. Agora derivamos:
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{x}{2}\Bigr) \;-\; 2\,\frac{d}{dx}\bigl(\ln(-x)\bigr) = -\frac12 \;-\; 2\cdot\frac{1}{x}.
Portanto
f'(x) = f(x)\Bigl(-\tfrac12 - \tfrac{2}{x}\Bigr).

Passo 3

Para achar o ponto crítico interno, resolvemos f'(x)=0. Como f(x)\neq0, basta
-\tfrac12 - \tfrac{2}{x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\frac12 = \frac{2}{x} \quad\Longrightarrow\quad x = -4.
Logo x=-4 é o único candidato interno.

Passo 4

Agora avaliamos f em x=-5, x=-4 e x=-1:
f(-5) = \frac{e^{-(-5)/2}}{25} = \frac{e^{5/2}}{25}, \quad f(-4) = \frac{e^{-(-4)/2}}{16} = \frac{e^{2}}{16}, \quad f(-1) = \frac{e^{-(-1)/2}}{1} = e^{1/2}.
Em valores aproximados:
f(-5)\approx0,4873,\quad f(-4)\approx0,4618,\quad f(-1)\approx1,6487.

Passo 5

Comparando os três valores, vemos que
  • o menor valor é f(-4)=\dfrac{e^2}{16},
  • o maior valor é f(-1)=e^{1/2}.

Resposta

Menor valor: \displaystyle f(-4)=\frac{e^2}{16}.
Maior valor: \displaystyle f(-1)=e^{1/2}.

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