Determine os intervalos em que a função dada é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes da curva, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
f(x)=t+e^{-t}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(t)=t+\mathrm{e}^{-t}
com domínio todo \mathbb{R}.
Precisamos achar onde f é crescente/decrescente, onde é côncava para cima/para baixo e marcar pontos importantes (mínimos, inflexões, assíntotas, interseções, etc.).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(t)=1-\mathrm{e}^{-t}.
Para f'(t)=0 temos
1-\mathrm{e}^{-t}=0\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{e}^{-t}=1\quad\Longrightarrow\quad t=0.
Como \mathrm{e}^{-t}>1 para t<0, f'(t)<0 em (-\infty,0), e \mathrm{e}^{-t}<1 para t>0, f'(t)>0 em (0,\infty).
Logo,
  • f é decrescente em (-\infty,0),
  • f é crescente em (0,\infty),
    e em t=0 existe um mínimo local (e global) com
f(0)=0+\mathrm{e}^{0}=1.

Passo 3

Calculamos a derivada segunda:
f''(t)=\mathrm{e}^{-t}.
Como \mathrm{e}^{-t}>0 para todo t\in\mathbb{R}, a curva é côncava para cima em todo \mathbb{R} e não há ponto de inflexão (pois f'' nunca se anula nem muda de sinal).

Passo 4

Interseções e assíntotas:
  • Raízes de f(t)=0 não existem em \mathbb{R}, pois t+\mathrm{e}^{-t}>0 para todo t.
  • Interseção com o eixo y em t=0: ponto (0,1).
  • Não há assíntotas verticais (domínio inteiro) nem tangentes verticais ou cúspides (derivadas finitas e contínuas).
  • Em t\to+\infty,
f(t)-t=\mathrm{e}^{-t}\to0,
logo existe assíntota oblíqua
y=x.
  • Em t\to-\infty, f(t)\to+\infty, sem assíntotas horizontais.

Passo 5

Esboço qualitativo:
A curva parte de +\infty em t\to-\infty, desce concava para cima até o mínimo (0,1), depois sobe para +\infty em t\to+\infty, aproximando-se da reta y=x à direita.

Resposta

Crescente em (0,\infty).
Decrescente em (-\infty,0).
Côncava para cima em (-\infty,\infty).
Côncava para baixo em nenhum intervalo.

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