Determine os intervalos em que a função dada é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes da curva, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
com domínio todo
.
Precisamos achar onde é crescente/decrescente, onde é côncava para cima/para baixo e marcar pontos importantes (mínimos, inflexões, assíntotas, interseções, etc.).
Precisamos achar onde
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:
Para
temos
Como
para
,
em
, e
para
,
em
.
Logo,
Logo,
-
é decrescente em , -
é crescente em ,
e emexiste um mínimo local (e global) com
Passo 3
Calculamos a derivada segunda:
Como
para todo
, a curva é côncava para cima em todo
e não há ponto de inflexão (pois
nunca se anula nem muda de sinal).
Passo 4
Interseções e assíntotas:
- Raízes de
não existem em , pois para todo . - Interseção com o eixo
em : ponto . - Não há assíntotas verticais (domínio inteiro) nem tangentes verticais ou cúspides (derivadas finitas e contínuas).
- Em
,
logo existe assíntota oblíqua
- Em
, , sem assíntotas horizontais.
Passo 5
Esboço qualitativo:
A curva parte de em
, desce concava para cima até o mínimo
, depois sobe para
em
, aproximando-se da reta
à direita.
A curva parte de
Resposta
Crescente em
.
Decrescente em .
Côncava para cima em .
Côncava para baixo em nenhum intervalo.
Decrescente em
Côncava para cima em
Côncava para baixo em nenhum intervalo.