Determine o maior e o menor valor da função dada no intervalo especificado.
g(t)=t^{3 / 2} e^{-22} para 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o maior e o menor valor de
g(t) = t^{3/2} e^{-22}
no intervalo 0 \le t \le 1. Vamos usar derivadas para identificar extremos e depois comparar com os valores nas pontas do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de g. Como e^{-22} é constante, temos
g'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t^{3/2}\bigr)\,e^{-22} = \frac{3}{2}\,t^{1/2}\,e^{-22}.

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos
g'(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{2}\,t^{1/2}\,e^{-22}=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{1/2}=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0.
Além disso, como t^{1/2}>0 para t>0, g'(t)>0 em (0,1], então g é estritamente crescente nesse intervalo.

Passo 4

Num intervalo fechado, extremos podem ocorrer em pontos críticos ou nas bordas. Aqui temos:
g(0) = 0^{3/2}e^{-22} = 0,
g(1) = 1^{3/2}e^{-22} = e^{-22}.

Resposta

O menor valor de g em [0,1] é
g(0)=0,
e o maior valor é
g(1)=e^{-22}.

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