Determine a maior potência de 2 que divide
inteiro
.
Passo 1
O enunciado pede a maior potência de 2 que divide o inteiro
O conteúdo a usar envolve números algébricos e valuation
-ádica. Vamos empregar o conjugado
para obtermos um inteiro por meio da soma
Passo 2
Defina
Como
são raízes do polinômio
,
é inteiro e satisfaz
com
,
. Além disso,
implica
, daí
- se
é ímpar, e - se
é par, e
Passo 3
Caso
seja par:
por indução na recorrência mostra-se que é múltiplo de
(de fato
e a relação de recorrência preserva divisibilidade por
). Logo
por indução na recorrência mostra-se que
que é ímpar. Portanto a maior potência de 2 que o divide é
Passo 4
Caso
seja ímpar:
pode-se provar por indução aplicando
pode-se provar por indução aplicando
e conhecendo que
e
, que
Como então
a maior potência de 2 que o divide é
Resposta
Para
par a maior potência de 2 que divide
é
Para
ímpar a maior potência de 2 que divide
é