Determine a maior potência de 2 que divide o inteiro [(1+raiz3)^n].

Passo 1

O enunciado pede a maior potência de 2 que divide o inteiro
lfloor(1+raiz3)^nrfloor
O conteúdo a usar envolve números algébricos e valuation 2-ádica. Vamos empregar o conjugado 1-raiz3 para obtermos um inteiro por meio da soma

Passo 2

Defina
an=(1+raiz3)^n+(1-raiz3)^n
Como 1pmraiz3 são raízes do polinômio x^2-2x-2=0, an é inteiro e satisfaz
an+2=2,an+1+2,an,
com a0=2, a1=2. Além disso, |1-raiz3|<1 implica |(1-raiz3)^n|<1, daí
  • se n é ímpar, (1-raiz3)^n<0 e lfloor(1+raiz3)^nrfloor =an,
  • se n é par, (1-raiz3)^n>0 e lfloor(1+raiz3)^nrfloor =an-1

Passo 3

Caso n=2k seja par:
por indução na recorrência mostra-se que a2k é múltiplo de 8 (de fato a2=8 e a relação de recorrência preserva divisibilidade por 8). Logo
lfloor(1+raiz3)^2krfloor = a2k-1 equiv 7 pmod 8,
que é ímpar. Portanto a maior potência de 2 que o divide é
2^0=1

Passo 4

Caso n=2k+1 seja ímpar:
pode-se provar por indução aplicando
a2k+3=2,a2k+2+2,a2k+1
e conhecendo que v2(a2k+2)>=3 e v2(2a2k+1)=1+v2(a2k+1), que
v2(a2k+1)=k+1
Como então
lfloor(1+raiz3)^2k+1rfloor=a2k+1,
a maior potência de 2 que o divide é
2^,k+1 =2^(2k+1)+12 =2^n+12

Resposta

Para n par a maior potência de 2 que divide lfloor(1+raiz3)^nrfloor é
2^0=1
Para n ímpar a maior potência de 2 que divide lfloor(1+raiz3)^nrfloor é
2^n+12

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