Determine a medida da altura de um cone equilátero cuja área total mede 54 pi cm^2.

Passo 1

O enunciado pede a altura de um cone equilátero sabendo que sua área total é 54pi,cm ^2. O conteúdo envolve área de cone (base e lateral) e a definição de cone equilátero (relação entre raio r, geratriz g e altura h).

Passo 2

Num cone equilátero a geratriz g vale o diâmetro da base, ou seja
g = 2r
A altura h vem do triângulo retângulo formado por h, r e g:
h = raizg^2 - r^2 = raiz(2r)^2 - r^2 = raiz3r^2 = rraiz3

Passo 3

A área total do cone é a soma da área da base e da área lateral:
Abase = pi r^2,
Alat = pi r,g
Como g=2r, temos
Alat = pi r cdot 2r = 2pi r^2

Passo 4

Logo a área total é
A = Abase + Alat = pi r^2 + 2pi r^2 = 3pi r^2
Igualando a 54pi:
3pi r^2 = 54pi Longrightarrow r^2 = 18 Longrightarrow r = 3raiz2,cm

Passo 5

Finalmente, a altura é
h = rraiz3 = 3raiz2,raiz3 = 3raiz6,cm

Resposta

3raiz6 cm

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