Determine a medida da altura, o volume e as áreas das bases de um tronco de cone, sabendo que sua geratriz mede 12,5 cm e os raios das bases menor e maior estão na razão 23, sendo 50 cm a sua soma.

Passo 1

O enunciado descreve um tronco de cone cuja geratriz mede 12,5 cm e cujos raios das bases menor e maior estão na razão tfrac23, com soma igual a 50 cm. Precisamos achar a altura h, o volume V e as áreas das bases.

Passo 2

Sejam r o raio da base menor e R o raio da base maior. Como r/R=2/3, podemos escrever r=2k e R=3k. Da soma r+R=50 vem
2k+3k=50Longrightarrow 5k=50Longrightarrow k=10
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r=2cdot10=20 cm, R=3cdot10=30 cm

Passo 3

Na seção lateral do tronco de cone, a geratriz g satisfaz o Teorema de Pitágoras:
g^2 = h^2 + (R - r)^2
Substituindo g=12,5 e R-r=30-20=10:
12,5^2 = h^2 + 10^2 Longrightarrow 156,25 = h^2 + 100 Longrightarrow h^2 = 56,25 Longrightarrow h = 7,5 cm

Passo 4

As áreas das bases são
Amenor = pi r^2 = picdot20^2 = 400pi cm^2,
Amaior = pi R^2 = picdot30^2 = 900pi cm^2

Passo 5

O volume de um tronco de cone é dado por
V = 13,pi,h,(R^2 + R,r + r^2)
Substituindo h=7,5, R^2=900, Rr=600 e r^2=400:
V = 13,picdot7,5,(900+600+400) = 13,picdot7,5cdot1900 = 4750pi cm^3

Resposta

Altura: 7,5 cm
Área da base menor: 400pi cm^2
Área da base maior: 900pi cm^2
Volume: 4750pi cm^3

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