Um tronco de pirâmide tem por bases dois octógonos regulares cujos lados medem 4 cm e 2 cm , respectivamente. A altura do tronco é de 12 cm . Determine o volume do tronco de pirâmide, bem como o volume da pirâmide total na qual está contido o tronco.

Passo 1

O enunciado pede (1) o volume do tronco de pirâmide cuja base maior é um octógono regular de lado 4,cm, base menor outro octógono regular de lado 2,cm e altura 12,cm, e (2) o volume da pirâmide total da qual esse tronco faz parte. Para isso vamos precisar da fórmula da área de um polígono regular, da fórmula do volume de um tronco de pirâmide e de semelhança de pirâmides para encontrar a altura total.

Passo 2

A área de um octógono regular de lado s vale
A = n,s^24tanl(pi/nr)
com n=8.
Para s=4,cm (base maior):
A1 = 8cdot 4^24tan(pi/8) = 1284tan(22,5^circ) = 32tan(22,5^circ) =32l(raiz2+1r),cm^2
Para s=2,cm (base menor):
A2 = 8cdot 2^24tan(pi/8) =8l(raiz2+1r),cm^2

Passo 3

O volume de um tronco de pirâmide é
Vtronco =h3l(A1 + A2 + raizA1,A2r)
Como raizA1A2=16(raiz2+1) e h=12,
Vtronco =123cdotl[32(raiz2+1)+8(raiz2+1)+16(raiz2+1)r] =4cdot 56(raiz2+1) =224(raiz2+1),cm^3

Passo 4

Para achar a altura total H da pirâmide, usamos semelhança: ao subir 12,cm desde a base grande o octógono encolhe do fator a2/a1=2/4=1/2. Se em altura 12 o fator é 1/2, então
1 - 12H = 12 Longrightarrow 12H=12 Longrightarrow H=24,cm

Passo 5

O volume da pirâmide total é
Vpirâmide =A1,H3 =32(raiz2+1)cdot 243 =256(raiz2+1),cm^3 â

Resposta

O volume do tronco de pirâmide é
224(raiz2+1),cm^3approx540,8,cm^3,
e o volume da pirâmide total é
256(raiz2+1),cm^3approx618,0,cm^3

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