Determine o menor número inteiro positivo x para que 2940 x=M^3, em que M é um número inteiro.

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro positivo x tal que 2940x seja um cubo perfeito, ou seja, exista inteiro M com
2940x = M^3
Para resolver usamos fatoração em primos e a condição de que, num cubo perfeito, todos os expoentes na fatoração devem ser múltiplos de 3.

Passo 2

Fatoramos 2940 em primos. Note que 2940 = 294 times 10 e
294 = 2 times 3 times 7^2, 10 = 2 times 5,
logo
2940 = 2^2 cdot 3^1 cdot 5^1 cdot 7^2

Passo 3

Para que 2940x seja um cubo perfeito, cada expoente na fatoração de 2940x deve ser múltiplo de 3. Atualmente temos os expoentes
2 em 2, 1 em 3, 1 em 5, 2 em 7
Para elevar cada um ao próximo múltiplo de 3, faltam:
1 potência de 2, pois 2+1=3;
2 potências de 3, pois 1+2=3;
2 potências de 5, pois 1+2=3;
1 potência de 7, pois 2+1=3.

Passo 4

O menor x que corrige esses expoentes é
x = 2^1 cdot 3^2 cdot 5^2 cdot 7^1 = 2 times 9 times 25 times 7 = 3150

Passo 5

Verificando,
2940x = 2^3 cdot 3^3 cdot 5^3 cdot 7^3 = (2cdot3cdot5cdot7)^3 = 210^3,
logo M=210 é inteiro e a condição 2940x=M^3 fica satisfeita.

Resposta

O menor valor de x é 3150.

Exercícios de Livros Relacionados