Determine o menor número inteiro positivo
para que
, em que
é um número inteiro.
Passo 1
O enunciado pede o menor inteiro positivo
tal que
seja um cubo perfeito, ou seja, exista inteiro
com
Para resolver usamos fatoração em primos e a condição de que, num cubo perfeito, todos os expoentes na fatoração devem ser múltiplos de 3.
Passo 2
Fatoramos
em primos. Note que
e
logo
Passo 3
Para que
seja um cubo perfeito, cada expoente na fatoração de
deve ser múltiplo de 3. Atualmente temos os expoentes
Para elevar cada um ao próximo múltiplo de 3, faltam:
— potência de
, pois
;
— potências de
, pois
;
— potências de
, pois
;
— potência de
, pois
.
—
—
—
—
Passo 4
O menor
que corrige esses expoentes é
Passo 5
Verificando,
logo
é inteiro e a condição
fica satisfeita.
Resposta
O menor valor de
é
.