Determine m de modo que a característica da matriz seja igual a 2 .
[rlr 1 & m & -1 2 & m & 2 m -1 & 2 & 1 ]

Passo 1

Temos a matriz
A = 1 & m & -1[6pt] 2 & m & 2m[6pt] -1 & 2 & 1
e queremos escolher m de modo que 2 seja um valor característico (autovalor) de A. Pela definição, isso ocorre exatamente quando
detl(A - 2Ir)=0
]

Passo 2

Subtraímos 2 da diagonal principal para obter A - 2I:
A - 2I = 1-2 & m & -1 [4pt] 2 & m-2 & 2m [4pt] -1 & 2 & 1-2 = -1 & m & -1 [4pt] 2 & m-2 & 2m [4pt] -1 & 2 & -1
]

Passo 3

Calculamos o determinante de A-2I pela expansão pela primeira linha:
det(A-2I) = -1cdotdetm-2 & 2m[4pt]2 & -1 - mcdotdet2 & 2m[4pt]-1 & -1 +(-1)cdotdet2 & m-2[4pt]-1 & 2
Agora cada menor:
detm-2 & 2m2 & -1 =(m-2)(-1)-2mcdot2=-m+2-4m=-5m+2,
det2 & 2m-1 & -1 =2cdot(-1)-(2m)(-1)=-2+2m,
det2 & m-2-1 & 2 =2cdot2-(m-2)(-1)=4+m-2=m+2
Substituindo de volta:
det(A-2I) = -1cdot(-5m+2);-;mcdot(-2+2m);+;(-1)cdot(m+2) =5m-2 ;+;(2m-2m^2);-;m-2
Agrupando termos:
det(A-2I) =-2m^2+6m-4
]

Passo 4

Impondo det(A-2I)=0 temos
-2m^2+6m-4=0 Longrightarrow m^2-3m+2=0 Longrightarrow (m-1)(m-2)=0
Logo
m=1 ou m=2

Resposta

m=1 ou m=2.

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