Discuta, segundo os valores do parâmetro m, os sistemas:
x+y+z & =0 m x+3 y+5 z & =0 m^2 x+9 y+25 z & =0

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema homogêneo com parâmetro :
Vamos usar determinante da matriz de coeficientes e análise de posto para discutir existência e multiplicidade de soluções.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
Os menores são
Logo

Passo 3

Fatoramos o polinômio:
det A =2(m^2-8m+15)=2(m-3)(m-5)
Portanto
det Aneq0 se e somente se mneq3,5, e
det A=0 exatamente em m=3 ou m=5.

Passo 4

Para mneq3,5, tem-se det Aneq0, o posto de A é 3 e o sistema homogêneo só admite a solução trivial
(x,y,z)=(0,0,0)

Passo 5

Para
Subtraindo , logo e . Com ,
há infinitas soluções.

Passo 6

Para
leva a . Tomando ,
também há infinitas soluções.

Resposta

Para mneq3,5: única solução (0,0,0).
Para m=3: infinitas soluções (t,-t,0).
Para m=5: infinitas soluções (-t,0,t).

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