Discuta, segundo os valores do parâmetro , os sistemas:
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema homogêneo com parâmetro :
Vamos usar determinante da matriz de coeficientes e análise de posto para discutir existência e multiplicidade de soluções.
Passo 2
Formamos a matriz de coeficientes
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
Os menores são
Logo
Passo 3
Fatoramos o polinômio:
det A =2(m^2-8m+15)=2(m-3)(m-5)
Portanto det Aneq0 se e somente se mneq3,5, e det A=0 exatamente em m=3 ou m=5.
Passo 4
Para mneq3,5, tem-se det Aneq0, o posto de A é 3 e o sistema homogêneo só admite a solução trivial
(x,y,z)=(0,0,0)
Passo 5
Para
Subtraindo , logo e . Com ,
há infinitas soluções.
Passo 6
Para
leva a . Tomando ,
também há infinitas soluções.
Resposta
Para mneq3,5: única solução (0,0,0).
Para m=3: infinitas soluções (t,-t,0).
Para m=5: infinitas soluções (-t,0,t).
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 415.b