Determine m de modo que o número alpha esteja compreendido entre as raízes da equação:
(m-1) x^2+(2 m+1) x+m=0 e alpha=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
(m-1)x^2 + (2m+1)x + m = 0
e pede os valores de m para que o número alpha = -1 fique entre as duas raízes reais dessa equação. O conteúdo principal aqui é a condição para que um ponto fique entre as raízes de um polinômio de segundo grau:
  1. As raízes devem ser reais ( De<a>0).
  2. O valor do polinômio em alpha deve ter sinal contrário ao coeficiente principal ( acdot f(alpha)<0), garantindo que alpha esteja no segmento entre as raízes.

Passo 2

Calculamos o discriminante
De<a = (2m+1)^2 - 4,(m-1),m
Expandindo,
De<a = 4m^2 +4m +1 -4(m^2-m) =4m^2+4m+1 -4m^2+4m =8m+1
Para termos duas raízes reais distintas, exigimos
De<a>0 Longrightarrow 8m+1>0 Longrightarrow m>-tfrac18

Passo 3

Calculamos o valor do polinômio em x=-1:
f(-1)=(m-1),(-1)^2+(2m+1)(-1)+m =(m-1)-2m-1+m =-2
O coeficiente principal é a=m-1. Para que -1 esteja entre as raízes, precisamos de
acdot f(-1)<0 Longrightarrow (m-1)cdot(-2)<0
Como -2<0, essa desigualdade torna-se
m-1>0 Longrightarrow m>1

Passo 4

Juntando as condições:
  1. m>-tfrac18 (para raízes reais),
  2. m>1 (para -1 ficar entre elas),
  3. mneq1 (para não anular o coeficiente quadrático).
A interseção dessas condições é simplesmente
m>1

Resposta

m>1 blacksquare

Exercícios de Livros Relacionados