Determine p de modo que o ponto A(7,9) seja exterior à circunferência de equação x^2+y^2-2 x-2 y-p=0.

Solução

Fazendo f(x, y)=x^2+y^2-2 x-2 y-p, devemos ter: f(7,9)>0 f(7,9)=7^2+9^2-2 cdot 7-2 cdot 9-p=98-p>0
portanto: p < 98 .
Para a existência da circunferência, devemos ter
D^2+E^2-4 A F=4+4+4 p>0 Rightarrow p>-2.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de p tais que o ponto A(7,9) fique fora da circunferência de equação
x^2 + y^2 - 2x - 2y - p = 0
Para isso vamos reescrever a equação na forma padrão, identificar o centro e o raio em função de p, garantir que o raio seja real, depois exigir que a distância do centro a A seja maior que o raio.

Passo 2

Completa-se o quadrado em x e em y:
x^2 - 2x + y^2 - 2y - p = 0 Longrightarrow (x-1)^2 - 1 + (y-1)^2 - 1 - p = 0
Longrightarrow (x-1)^2 + (y-1)^2 = p + 2
Logo o centro é C(1,1) e o raio satisfaz
r^2 = p + 2

Passo 3

Para existir circunferência real precisamos de r^2>0, isto é,
p + 2 > 0 Longrightarrow p > -2

Passo 4

A distância de C até A é
d = raiz(7-1)^2 + (9-1)^2 = raiz36 + 64 = 10
Para A ficar exterior, exige-se d > r, ou seja
10 > raizp+2 Longrightarrow 100 > p + 2 Longrightarrow p < 98

Passo 5

Juntando as duas desigualdades ( p>-2 e p<98), obtemos
-2 < p < 98

Resposta

-2 < p < 98

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