Dados os conjuntos:
A=(x, y) mid x^2+y^2 <= 4
B=(x, y) mid x-y <= k
determine k para que A seja subconjunto de B.

Passo 1

O enunciado dá
  • A=(x,y)mid x^2+y^2<=4, um disco de raio 2 centrado na origem;
  • B=(x,y)mid x-y<= k, um semiplano.
    Precisamos achar o valor de k para que todo ponto de A satisfaça x-y<= k, ou seja, Asubset B.

Passo 2

Para garantir Asubset B é necessário e suficiente que
x - y <= k forall,(x,y) tais que x^2+y^2<=4,
isto é,
k ;>=;supx^2+y^2<=4(x - y)

Passo 3

Vamos calcular
M = supx^2+y^2<=4(x - y)
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, para qualquer (x,y) com x^2+y^2<=4 vale
x-y = lang<=(x,y),(1,-1)rang<= <= |(x,y)|;|,(1,-1)|;<= 2cdotraiz1^2+(-1)^2=2raiz2
Além disso, esse valor é atingido na direção de (1,-1), por exemplo em (x,y)=(raiz2,-raiz2).

Passo 4

Portanto
supx^2+y^2<=4(x - y)=2raiz2
e a condição para inclusão é
k >= 2raiz2

Resposta

O menor valor de k que garante Asubset B é
k = 2raiz2,
isto é, basta escolher k>=2raiz2.

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