Qual é a posição do ponto 𝑃(3,2) em relação à circunferência (𝑥−1)2+(𝑦−1)2=4 ?
A equação da circunferência fica:
𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2+𝑦2−2𝑥−2𝑦−2=0
Substituindo as coordenadas de P no 1: membro:
𝑓(3,2)=32+22−2⋅3−2⋅2−2=9+4−6−4−2=1>0
Resposta: P é exterior.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a posição do ponto P(3,2) em relação à circunferência
(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4
O conteúdo que usamos aqui é a forma geral da equação de uma circunferência e o critério de sinal para determinar se um ponto está dentro, sobre ou fora dela.

Passo 2

Vamos escrever a equação da circunferência em forma geral
(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4
expandindo e reunindo termos:
x^2 -2x +1 + y^2 -2y +1 = 4
x^2 + y^2 -2x -2y -2 = 0
Definimos
f(x,y) = x^2 + y^2 -2x -2y -2

Passo 3

O critério de posição de um ponto (x0,y0) é:
  • Se f(x0,y0) < 0, o ponto está no interior da circunferência.
  • Se f(x0,y0) = 0, o ponto está sobre a circunferência.
  • Se f(x0,y0) > 0, o ponto está no exterior da circunferência.

Passo 4

Aplicando em P(3,2):
f(3,2) = 3^2 + 2^2 -2cdot3 -2cdot2 -2 = 9 +4 -6 -4 -2 = 1
Como f(3,2)=1>0, concluímos que P está no exterior da circunferência.

Resposta

O ponto P(3,2) é exterior à circunferência.

Exercícios de Livros Relacionados