Discuta o sistema
m x+y+z & =a x+m y+z & =b x+y+m z & =c
em que a, b, c são diferentes dois a dois e têm soma nula.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear em
onde o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
A = m & 1 & 1 1 & m & 1 1 & 1 & m
Como é uma matriz do tipo “ m na diagonal e 1 fora dela”, sabe-se (ou se pode desenvolver) que
det(A) = (m - 1)^2 (m + 2)

Passo 3

Caso mneq 1 e mneq -2, temos det(A)neq 0 e, portanto, existe solução única.
Para encontrá-la, note que somando as três equações obtemos
(m+2)(x+y+z) = a + b + c = 0,
logo
s equiv x+y+z = 0
Substituindo s=0 em, por exemplo, m x + (y+z) = a
m x - x = a Longrightarrow (m-1)x = a Longrightarrow x = am-1,
e, de modo análogo,
y = bm-1, z = cm-1

Passo 4

Se
Como (a,b,c] são todos diferentes, logo as três equações se contradizem e o sistema é incompatível, sem solução.

Passo 5

Se m = -2, então det(A)=0 e somando as equações temos
0cdot(x+y+z) = a+b+c = 0,
o que não gera contradição (fica 0=0). Assim, o sistema é compatível indeterminado.
Basta usar s=x+y+z livre e escrever, por exemplo,
-2x + (y+z) = a ;Longrightarrow; -2x + (s - x) = a ;Longrightarrow; -3x = a - s ;Longrightarrow; x = s - a3,
e análogamente
y = s - b3, z = s - c3,
com sinR servindo de parâmetro livre.

Resposta

Para mneq 1 e mneq -2, o sistema tem solução única
l(x,y,zr) = l(tfracam-1,,tfracbm-1,,tfraccm-1r)
Para m=1, não há solução (incompatível).
Para m=-2, há infinitas soluções, dadas por
x = s - a3, y = s - b3, z = s - c3,
onde s = x+y+z é parâmetro livre.

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