Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações:
4 x^2+4 y^2+12 x-32 y=-37.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a curva dada pela equação
4x^2+4y^2+12x-32y=-37
Aqui o conteúdo é identificação de cônicas através de completamento de quadrado.

Passo 2

Primeiro, divido toda a equação por 4 para simplificar os coeficientes dos quadrados:
x^2+y^2+3x-8y=-374

Passo 3

Agora completo o quadrado em x e em y.
Para x:
x^2+3x = l(x+tfrac32r)^2 - 94
Para y:
y^2-8y = (y-4)^2-16

Passo 4

Substituo essas expressões na equação e isolo as parcelas quadráticas:
l(x+tfrac32r)^2 - 94 ;+;(y-4)^2-16 ;=; -374
Passo os termos constantes para o lado direito:
l(x+tfrac32r)^2 + (y-4)^2 =; -374 + 94 + 16 =; -37+9+644 =; 9

Passo 5

Obtemos a forma padrão
l(x+tfrac32r)^2 + (y-4)^2 = 3^2,
que representa um círculo de centro l(-tfrac32,,4r) e raio 3.

Resposta

A curva é um círculo de centro l(-tfrac32,4r) e raio 3.

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