Determine o quociente e o resto das divisões:
x^5+12 x^4+3 x^2-16 div x^2+3 x-4.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
f(x)=x^5+12x^4+3x^2-16
pelo polinômio
g(x)=x^2+3x-4
usando o método da divisão de polinômios. O objetivo é encontrar o quociente q(x) e o resto r(x) tais que
f(x)=g(x),q(x)+r(x),
com deg r<deg g=2.

Passo 2

Começamos dividindo o termo de maior grau de f pelo termo de maior grau de g:
x^5x^2=x^3
Multiplicamos g(x) por x^3 e subtraímos de f(x):
x^3cdot(x^2+3x-4)=x^5+3x^4-4x^3,
f(x)-x^3g(x)=(x^5+12x^4+0x^3+3x^2+0x-16)-(x^5+3x^4-4x^3) =9x^4+4x^3+3x^2-16

Passo 3

Agora dividimos 9x^4 por x^2:
9x^4x^2=9x^2
Multiplicamos g(x) por 9x^2 e subtraímos do resto anterior:
9x^2cdot(x^2+3x-4)=9x^4+27x^3-36x^2,
(9x^4+4x^3+3x^2)-(9x^4+27x^3-36x^2) =-23x^3+39x^2
Descemos os termos de grau menor e recorremos ao próximo passo.

Passo 4

Dividimos -23x^3 por x^2:
-23x^3x^2=-23x
Multiplicamos g(x) por -23x e subtraímos:
-23xcdot(x^2+3x-4)=-23x^3-69x^2+92x,
(-23x^3+39x^2+0x)-(-23x^3-69x^2+92x) =108x^2-92x

Passo 5

Dividimos 108x^2 por x^2:
108x^2x^2=108
Multiplicamos g(x) por 108 e subtraímos para obter o resto final:
108cdot(x^2+3x-4)=108x^2+324x-432,
(108x^2-92x-16)-(108x^2+324x-432) =-416x+416
Como o grau de -416x+416 é menor que 2, esta é a divisão completa.

Resposta

Quociente:
q(x)=x^3+9x^2-23x+108,
Resto:
r(x)=-416x+416

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