Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações:
3 y^2-2 x-12 y+12=0

Passo 1

O enunciado pede a natureza da curva dada por
3y^2 - 2x -12y +12 = 0
Como é uma equação geral de segundo grau em x e y, vamos (i) usar o discriminante das cônicas
De<a = B^2 -4AC para classificar e (ii) completar o quadrado para escrever em forma canônica.

Passo 2

Na forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
identificamos
A=0, B=0, C=3, D=-2, E=-12, F=12
O discriminante é
De<a = B^2 - 4AC = 0^2 - 4cdot 0cdot 3 = 0
Como De<a=0, a curva é uma parábola.

Passo 3

Para obter a forma canônica, isolamos x e completamos o quadrado em y:
3y^2 -12y +12 = 2x
3l(y^2 -4y +4r) = 2x
3(y-2)^2 = 2x
x = 32,(y-2)^2

Passo 4

Comparando com a forma padrão
x = 14p,(y-k)^2 + h,
vemos que h=0, k=2 e
14p = 32 Longrightarrow 4p = 23 Longrightarrow p = 16
Logo:
  • vértice em (h,k)=(0,2),
  • a parábola abre para a direita,
  • foco em l(h+p,;kr)=l(tfrac16,2r),
  • diretriz x = h - p = -tfrac16.

Resposta

A curva é uma parábola de vértice em (0,2), que abre para a direita, com foco em l(tfrac16,2r) e diretriz x = -tfrac16.

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