Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
1z^2+a^2.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(z)=1z^2+a^2
determinarmos onde estão as singularidades no plano complexo, classificá-las (natureza) e calcular os resíduos em cada uma delas. O conteúdo aqui é análise de singularidades isoladas e cálculo de resíduos em polos simples.

Passo 2

Para achar as singularidades resolvemos
z^2+a^2=0
que dá
z=pm i,a
Como perto de cada zero do denominador z^2+a^2=(z-ia)(z+ia) o numerador é não-nulo, esses pontos são polos de ordem 1 (simples).

Passo 3

Em um polo simples , o resíduo de é dado por
Aqui usaremos a fatoração para aplicar essa fórmula em e .

Passo 4

Calculemos os resíduos:
  1. Em :
  1. Em :

Resposta

As singularidades de são polos simples em
Os resíduos valem

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