Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
\frac{1}{z^{2}+a^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(z)=\frac{1}{z^{2}+a^{2}}
determinarmos onde estão as singularidades no plano complexo, classificá-las (natureza) e calcular os resíduos em cada uma delas. O conteúdo aqui é análise de singularidades isoladas e cálculo de resíduos em polos simples.

Passo 2

Para achar as singularidades resolvemos
z^{2}+a^{2}=0
que dá
z=\pm i\,a.
Como perto de cada zero do denominador z^{2}+a^{2}=(z-ia)(z+ia) o numerador é não-nulo, esses pontos são polos de ordem 1 (simples).

Passo 3

Em um polo simples z_{0}, o resíduo de f é dado por
\Res\bigl(f,z_{0}\bigr)=\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})\,f(z).
Aqui usaremos a fatoração z^{2}+a^{2}=(z-ia)(z+ia) para aplicar essa fórmula em z_{0}=ia e z_{0}=-ia.

Passo 4

Calculemos os resíduos:
  1. Em z=ia:
\Res\bigl(f,ia\bigr) =\lim_{z\to ia}\frac{z-ia}{(z-ia)(z+ia)} =\frac{1}{\,ia+ia\,} =\frac{1}{2\,i\,a}.
  1. Em z=-ia:
\Res\bigl(f,-ia\bigr) =\lim_{z\to -ia}\frac{z+ia}{(z-ia)(z+ia)} =\frac{1}{\,-ia-ia\,} =-\frac{1}{2\,i\,a}.

Resposta

As singularidades de f são polos simples em
z=ia\quad\text{e}\quad z=-ia.
Os resíduos valem
\Res\bigl(f,ia\bigr)=\frac{1}{2\,i\,a}, \quad \Res\bigl(f,-ia\bigr)=-\frac{1}{2\,i\,a}.

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