7.1.8 Mostre que
\int_{0}^{\pi} \frac{d \theta}{(a+\cos \theta)^{2}}=\frac{\pi a}{\left(a^{2}-1\right)^{3 / 2}}, \quad a>1

Passo 1

O enunciado pede
\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{(a+\cos\theta)^{2}}
para a>1. Vamos usar o truque de diferenciar em relação a a um integral mais simples que já conhecemos.

Passo 2

Lembramos do resultado clássico
\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{a+\cos\theta} =\frac{\pi}{\sqrt{a^{2}-1}}, \qquad a>1.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a a e trocando derivada com integral (justificado pois tudo é contínuo e suave em a>1), obtemos
\frac{d}{da}\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{a+\cos\theta} =\int_{0}^{\pi}\frac{\partial}{\partial a}\Bigl(\frac{1}{a+\cos\theta}\Bigr)\,d\theta =-\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{(a+\cos\theta)^{2}}.

Passo 4

Por outro lado, derivando o lado direito de \pi/(a^{2}-1)^{1/2}
\frac{d}{da}\Bigl(\frac{\pi}{\sqrt{a^{2}-1}}\Bigr) =\pi\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(a^{2}-1)^{-3/2}\cdot 2a =-\frac{\pi\,a}{(a^{2}-1)^{3/2}}.

Passo 5

Igualando as duas expressões para a derivada,
-\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{(a+\cos\theta)^{2}} =-\frac{\pi\,a}{(a^{2}-1)^{3/2}},
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\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{(a+\cos\theta)^{2}} =\frac{\pi\,a}{(a^{2}-1)^{3/2}}.

Resposta

\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{(a+\cos\theta)^{2}} =\frac{\pi\,a}{(a^{2}-1)^{3/2}}, \quad a>1.

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