7.1.8 Mostre que
integral0^pi d theta(a+cos theta)^2=pi a(a^2-1)^3 / 2, a>1

Passo 1

O enunciado pede
integral0^pidtheta(a+costheta)^2
para a>1. Vamos usar o truque de diferenciar em relação a a um integral mais simples que já conhecemos.

Passo 2

Lembramos do resultado clássico
integral0^pidthetaa+costheta =piraiza^2-1, a>1

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a a e trocando derivada com integral (justificado pois tudo é contínuo e suave em a>1), obtemos
ddaintegral0^pidthetaa+costheta =integral0^pipartialpartial al(1a+costhetar),dtheta =-integral0^pidtheta(a+costheta)^2

Passo 4

Por outro lado, derivando o lado direito de pi/(a^2-1)^1/2
ddal(piraiza^2-1r) =picdotl(-tfrac12r)(a^2-1)^-3/2cdot 2a =-pi,a(a^2-1)^3/2

Passo 5

Igualando as duas expressões para a derivada,
-integral0^pidtheta(a+costheta)^2 =-pi,a(a^2-1)^3/2,
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integral0^pidtheta(a+costheta)^2 =pi,a(a^2-1)^3/2

Resposta

integral0^pidtheta(a+costheta)^2 =pi,a(a^2-1)^3/2, a>1

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