Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
\frac{\operatorname{sen} 1 / z}{z^{2}+a^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar as singularidades da função
f(z)=\frac{\sin\bigl(1/z\bigr)}{z^{2}+a^{2}}
e calcular os resíduos nessas singularidades. Vamos usar expansão em série de Laurent em z=0 e a fórmula do resíduo em polo simples.

Passo 2

Os zeros do denominador vêm de
z^{2}+a^{2}=0\;\Longrightarrow\;z=\pm i\,a,
e como \sin(1/z) é analítica em z=\pm i\,a, cada ponto z=\pm i\,a é um polo simples. Em z=0, \sin(1/z) tem singularidade essencial, e multiplicar por 1/(z^{2}+a^{2}) não remove essa natureza, logo z=0 é singularidade essencial.

Passo 3

Para calcular o resíduo em um polo simples z_{0}=\pm i\,a usamos
\Res\bigl(f,z_{0}\bigr) =\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})\frac{\sin(1/z)}{(z-z_{0})(z+z_{0})} =\frac{\sin\bigl(1/z_{0}\bigr)}{2\,z_{0}}.
Substituindo z_{0}=i\,a e z_{0}=-i\,a:
\Res\bigl(f,i\,a\bigr) =\frac{\sin\bigl(1/(i\,a)\bigr)}{2\,i\,a}, \quad \Res\bigl(f,-i\,a\bigr) =\frac{\sin\bigl(1/(-i\,a)\bigr)}{-2\,i\,a}.
Como \sin\bigl(1/(i\,a)\bigr)=\sin(-\,i/a)=-\,i\,\operatorname{sinh}(1/a) e \sin\bigl(1/(-i\,a)\bigr)=\sin(i/a)=i\,\operatorname{sinh}(1/a), obtemos
\Res\bigl(f,i\,a\bigr) =-\frac{\operatorname{sinh}(1/a)}{2\,a}, \quad \Res\bigl(f,-i\,a\bigr) =-\frac{\operatorname{sinh}(1/a)}{2\,a}.

Passo 4

Para o resíduo em z=0 fazemos a expansão
\sin\bigl(1/z\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}\,z^{-(2n+1)}, \quad \frac{1}{z^{2}+a^{2}} =\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{z^{2m}}{a^{2m+2}}.
Multiplicando e coletando o termo z^{-1} (o coeficiente do qual é o resíduo), vemos que só contribuem os pares m=n. Assim
\Res\bigl(f,0\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)!\,a^{2n+2}} =\frac{1}{a^{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)!}\,\frac{1}{a^{2n}} =\frac{\operatorname{sinh}(1/a)}{a}.

Resposta

Natureza das singularidades:
z=0 é singularidade essencial.
z=\pm i\,a são polos simples.
Resíduos:
\Res\bigl(f,0\bigr)=\frac{\operatorname{sinh}(1/a)}{a}, \quad \Res\bigl(f,i\,a\bigr) =\Res\bigl(f,-i\,a\bigr) =-\frac{\operatorname{sinh}(1/a)}{2\,a}.

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