Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar as singularidades da função
e calcular os resíduos nessas singularidades. Vamos usar expansão em série de Laurent em
e a fórmula do resíduo em polo simples.
Passo 2
Os zeros do denominador vêm de
e como
é analítica em
, cada ponto
é um polo simples. Em
,
tem singularidade essencial, e multiplicar por
não remove essa natureza, logo
é singularidade essencial.
Passo 3
Para calcular o resíduo em um polo simples
usamos
Substituindo
e
:
Como
e
, obtemos
Passo 4
Para o resíduo em
fazemos a expansão
Multiplicando e coletando o termo
(o coeficiente do qual é o resíduo), vemos que só contribuem os pares
. Assim
Resposta
Natureza das singularidades:
– é singularidade essencial.
– são polos simples.
–
–
Resíduos: