Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
sen 1 / zz^2+a^2.

Passo 1

O enunciado pede para estudar as singularidades da função
f(z)=sinl(1/zr)z^2+a^2
e calcular os resíduos nessas singularidades. Vamos usar expansão em série de Laurent em z=0 e a fórmula do resíduo em polo simples.

Passo 2

Os zeros do denominador vêm de
z^2+a^2=0;Longrightarrow;z=pm i,a,
e como sin(1/z) é analítica em z=pm i,a, cada ponto z=pm i,a é um polo simples. Em z=0, sin(1/z) tem singularidade essencial, e multiplicar por 1/(z^2+a^2) não remove essa natureza, logo z=0 é singularidade essencial.

Passo 3

Para calcular o resíduo em um polo simples usamos
Substituindo e :
Como e , obtemos

Passo 4

Para o resíduo em fazemos a expansão
Multiplicando e coletando o termo (o coeficiente do qual é o resíduo), vemos que só contribuem os pares . Assim

Resposta

Natureza das singularidades:
é singularidade essencial.
são polos simples.
Resíduos:

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