7.1.12 Prove que

integral-infty^infty sen^2 xx^2 d x=pi2
Sugestão: sen^2 x=12(1-cos 2 x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^inftysin^2xx^2,dx
Aqui o conteúdo principal é o uso da identidade de ângulo duplo para sin^2x, a paridade da função e uma integração por partes para avaliar um termo do tipo
integral0^infty1-cos(ax)x^2,dx

Passo 2

Usamos a sugestão de que
sin^2x=12l(1-cos 2xr)
Logo
sin^2xx^2 =12,1-cos2xx^2

Passo 3

Observe que f(x)=sin^2x/x^2 é função par. Logo
integral-infty^inftysin^2xx^2,dx =2integral0^inftysin^2xx^2,dx =2integral0^infty12,1-cos2xx^2,dx =integral0^infty1-cos2xx^2,dx

Passo 4

Definimos
I=integral0^infty1-cos2xx^2,dx
e fazemos integração por partes escolhendo
;u=1-cos2x, dv=x^-2dx.
Então
du=2sin2x,dx, v=-1x,
e
I=l[-1-cos2xxr]0^infty +integral0^infty2sin2x;1x,dx
O termo de fronteira vale zero porque em xto0 o numerador ,1-cos2xsim x^2 e em xtoinfty o quociente tende a zero. Logo
I=2integral0^inftysin2xx,dx
Mas é sabido (integral de Dirichlet) que, para a>0,
integral0^inftysin(ax)x,dx=pi2
Tomando a=2 obtemos
I=2cdotpi2=pi

Passo 5

Voltando à integral original, vimos no Passo 3 que
integral-infty^inftysin^2xx^2,dx =;I =pi

Resposta

integral-infty^inftysin^2xx^2,dx=pi
(Observação: se a integral fosse só de 0 a infty, o valor seria pi/2.)

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