7.1.12 Prove que

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2} x}{x^{2}} d x=\frac{\pi}{2}
Sugestão: \operatorname{sen}^{2} x=\frac{1}{2}(1-\cos 2 x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\,dx
Aqui o conteúdo principal é o uso da identidade de ângulo duplo para \sin^{2}x, a paridade da função e uma integração por partes para avaliar um termo do tipo
\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(ax)}{x^{2}}\,dx.

Passo 2

Usamos a sugestão de que
\sin^{2}x=\frac{1}{2}\bigl(1-\cos 2x\bigr).
Logo
\frac{\sin^{2}x}{x^{2}} =\frac{1}{2}\,\frac{1-\cos2x}{x^{2}}.

Passo 3

Observe que f(x)=\sin^{2}x/x^{2} é função par. Logo
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\,dx =2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\,dx =2\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2}\,\frac{1-\cos2x}{x^{2}}\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos2x}{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Definimos
I=\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos2x}{x^{2}}\,dx
e fazemos integração por partes escolhendo
\;u=1-\cos2x, dv=x^{-2}dx.
Então
du=2\sin2x\,dx,\quad v=-\frac{1}{x},
e
I=\Bigl[-\frac{1-\cos2x}{x}\Bigr]_{0}^{\infty} +\int_{0}^{\infty}2\sin2x\;\frac{1}{x}\,dx.
O termo de fronteira vale zero porque em x\to0 o numerador \,1-\cos2x\sim x^{2} e em x\to\infty o quociente tende a zero. Logo
I=2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin2x}{x}\,dx.
Mas é sabido (integral de Dirichlet) que, para a>0,
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.
Tomando a=2 obtemos
I=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.

Passo 5

Voltando à integral original, vimos no Passo 3 que
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\,dx =\;I =\pi.

Resposta

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\,dx=\pi.
(Observação: se a integral fosse só de 0 a \infty, o valor seria \pi/2.)

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