7.1.12 Prove que
Sugestão:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Aqui o conteúdo principal é o uso da identidade de ângulo duplo para
, a paridade da função e uma integração por partes para avaliar um termo do tipo
Passo 2
Usamos a sugestão de que
Logo
Passo 3
Observe que
é função par. Logo
Passo 4
Definimos
e fazemos integração por partes escolhendo
,
.
Então
Então
e
O termo de fronteira vale zero porque em
o numerador
e em
o quociente tende a zero. Logo
Mas é sabido (integral de Dirichlet) que, para
,
Tomando
obtemos
Passo 5
Voltando à integral original, vimos no Passo 3 que
Resposta
(Observação: se a integral fosse só de
a
, o valor seria
.)