7.1.10 Com o cálculo de resíduos, mostre que
(A notação de fatorial duplo é definida na Seção 8.1.)
Passo 1
O problema pede para calcular
usando cálculo de resíduos. Vamos parametrizar por
, transformar a integral num contorno na circunferência unitária e aplicar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Como
é
-periódica e simétrica em torno de
, temos
Passo 3
Com a substituição
vem
e
corresponde ao contorno
. Logo
Passo 4
Expandindo binomialmente,
então o integrando é
O único termo que tem
(pólo simples em
) ocorre quando
, i.e.\
.
Passo 5
Pelo Teorema dos Resíduos,
e aqui
Assim
Portanto
Passo 6
Substituindo
obtemos
Usando a identidade de duplos fatoriais
segue também