7.1.10 Com o cálculo de resíduos, mostre que
integral0^pi cos ^2 n theta d theta=pi (2 n) !2^2 n(n !)^2=pi (2 n-1) ! !(2 n) ! !, n=0,1,2, ldots
(A notação de fatorial duplo é definida na Seção 8.1.)

Passo 1

O problema pede para calcular
In=integral0^picos^2ntheta,dtheta
usando cálculo de resíduos. Vamos parametrizar por z=e^itheta, transformar a integral num contorno na circunferência unitária e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Como cos^2ntheta é 2pi-periódica e simétrica em torno de pi, temos
integral0^picos^2ntheta,dtheta =tfrac12integral0^2picos^2ntheta,dtheta

Passo 3

Com a substituição z=e^itheta vem
costheta=z+z^-12, dtheta=dzi,z,
e thetacolon0to2pi corresponde ao contorno lvert zrvert=1. Logo
integral0^2picos^2ntheta,dtheta =oint|z|=1l(z+z^-12r)^2ndzi,z

Passo 4

Expandindo binomialmente,
(z+z^-1)^2n =sumk=0^2nbinom2nkz^k-(2n-k) =sumk=0^2nbinom2nkz^2k-2n,
então o integrando é
1i,z,12^2n sumk=0^2nbinom2nkz^2k-2n =1i,2^2n sumk=0^2nbinom2nkz^2k-2n-1
O único termo que tem z^-1 (pólo simples em z=0) ocorre quando 2k-2n-1=-1, i.e.\ k=n.

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
oint|z|=1f(z),dz =2pi i;Res(f,0),
e aqui
Res(f,0) =1i,2^2nbinom2nn
Assim
integral0^2picos^2ntheta,dtheta =2pi icdot1i,2^2nbinom2nn =2pibinom2nn2^2n
Portanto
In=integral0^picos^2ntheta,dtheta =tfrac12cdot2pibinom2nn2^2n =pibinom2nn2^2n

Passo 6

Substituindo binom2nn=dfrac(2n)!(n!)^2 obtemos
In =pi,(2n)!2^2n,(n!)^2
Usando a identidade de duplos fatoriais
(2n-1)!!=(2n)!2^n,n!, (2n)!!=2^n,n!,
segue também
In=pi,(2n-1)!!(2n)!!

Resposta

integral0^picos^2ntheta,dtheta =pi,(2n)!2^2n(n!)^2 =pi,(2n-1)!!(2n)!!, n=0,1,2,dots

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