7.1.10 Com o cálculo de resíduos, mostre que
\int_{0}^{\pi} \cos ^{2 n} \theta d \theta=\pi \frac{(2 n) !}{2^{2 n}(n !)^{2}}=\pi \frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !}, \quad n=0,1,2, \ldots
(A notação de fatorial duplo é definida na Seção 8.1.)

Passo 1

O problema pede para calcular
I_n=\int_{0}^{\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta
usando cálculo de resíduos. Vamos parametrizar por z=e^{i\theta}, transformar a integral num contorno na circunferência unitária e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Como \cos^{2n}\theta é 2\pi-periódica e simétrica em torno de \pi, temos
\int_{0}^{\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta =\tfrac12\int_{0}^{2\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta.

Passo 3

Com a substituição z=e^{i\theta} vem
\cos\theta=\frac{z+z^{-1}}{2}, \qquad d\theta=\frac{dz}{i\,z},
e \theta\colon0\to2\pi corresponde ao contorno \lvert z\rvert=1. Logo
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta =\oint_{|z|=1}\Bigl(\frac{z+z^{-1}}{2}\Bigr)^{2n}\frac{dz}{i\,z}.

Passo 4

Expandindo binomialmente,
(z+z^{-1})^{2n} =\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}z^{k-(2n-k)} =\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}z^{2k-2n},
então o integrando é
\frac{1}{i\,z}\,\frac{1}{2^{2n}} \sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}z^{2k-2n} =\frac{1}{i\,2^{2n}} \sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}z^{2k-2n-1}.
O único termo que tem z^{-1} (pólo simples em z=0) ocorre quando 2k-2n-1=-1, i.e.\ k=n.

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{|z|=1}f(z)\,dz =2\pi i\;\mathrm{Res}(f,0),
e aqui
\mathrm{Res}(f,0) =\frac1{i\,2^{2n}}\binom{2n}{n}.
Assim
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta =2\pi i\cdot\frac1{i\,2^{2n}}\binom{2n}{n} =2\pi\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}.
Portanto
I_n=\int_{0}^{\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta =\tfrac12\cdot2\pi\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}} =\pi\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}.

Passo 6

Substituindo \binom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2} obtemos
I_n =\pi\,\frac{(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^2}.
Usando a identidade de duplos fatoriais
(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^n\,n!}, \qquad (2n)!!=2^n\,n!,
segue também
I_n=\pi\,\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}.

Resposta

\int_{0}^{\pi}\cos^{2n}\theta\,d\theta =\pi\,\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} =\pi\,\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}, \quad n=0,1,2,\dots

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