Mostre que u(s) tem as representações integrais. Nota: O parâmetro s é real. u(s)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x s}}{x-i \varepsilon} d x
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que a unidade de Heaviside
u(s)=\begin{cases}0,&s<0,\\\ 1,&s>0\end{cases}
pode ser escrita como
u(s)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i x s}}{x - i\,\varepsilon}\,dx.
Para isso usaremos integração no plano complexo, fechando o caminho em semicírculos e aplicando o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Considere primeiro s>0. Defina
I_\varepsilon(s)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i x s}}{x - i\,\varepsilon}\,dx.
Fechamos o contorno pela semirreta real [-R,R] mais o semicírculo C_R no semiplano superior de raio R.
No interior deste contorno há um único polo simples em z=i\,\varepsilon. A contribuição do semicírculo C_R tende a zero quando R\to\infty por causa do lema de Jordan (já que \Im z\ge0 faz e^{izs}=e^{i(x+iy)s}=e^{i xs-y s} decair).
Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{-R}^{R}\frac{e^{i x s}}{x - i\,\varepsilon}\,dx+\int_{C_R}\frac{e^{i z s}}{z - i\,\varepsilon}\,dz =2\pi i\;\Res\Bigl(\frac{e^{i z s}}{z - i\,\varepsilon},z=i\,\varepsilon\Bigr).
O resíduo é
\Res=\bigl.e^{i z s}\bigr|_{z=i\,\varepsilon}=e^{-\,\varepsilon s}.
Passando ao limite R\to\infty e usando que a integral em C_R some, obtemos
Agora considere s<0. Repetimos a construção, mas fechamos o contorno no semiplano inferior, onde e^{i z s} decai. Nesse semiplano não há polo (o único polo z=i\,\varepsilon fica acima do eixo real), de modo que a soma das integrais é zero. Pelo mesmo argumento do lema de Jordan, a contribuição do semicírculo inferior some e ficamos com