A função degrau unitária é definida como (compare com o Exercício 1.15.13)
u(s-a)= \begin{cases}0, & s<a \\\\ 1, & s>a\end{cases}
Mostre que u(s) tem as representações integrais. Nota: O parâmetro s é real.
u(s)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x s}}{x-i \varepsilon} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que a unidade de Heaviside
u(s)=\begin{cases}0,&s<0,\\\ 1,&s>0\end{cases}
pode ser escrita como
u(s)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i x s}}{x - i\,\varepsilon}\,dx.
Para isso usaremos integração no plano complexo, fechando o caminho em semicírculos e aplicando o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Considere primeiro s>0. Defina
I_\varepsilon(s)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i x s}}{x - i\,\varepsilon}\,dx.
  1. Fechamos o contorno pela semirreta real [-R,R] mais o semicírculo C_R no semiplano superior de raio R.
  2. No interior deste contorno há um único polo simples em z=i\,\varepsilon. A contribuição do semicírculo C_R tende a zero quando R\to\infty por causa do lema de Jordan (já que \Im z\ge0 faz e^{izs}=e^{i(x+iy)s}=e^{i xs-y s} decair).
  3. Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{-R}^{R}\frac{e^{i x s}}{x - i\,\varepsilon}\,dx+\int_{C_R}\frac{e^{i z s}}{z - i\,\varepsilon}\,dz =2\pi i\;\Res\Bigl(\frac{e^{i z s}}{z - i\,\varepsilon},z=i\,\varepsilon\Bigr).
O resíduo é
\Res=\bigl.e^{i z s}\bigr|_{z=i\,\varepsilon}=e^{-\,\varepsilon s}.
Passando ao limite R\to\infty e usando que a integral em C_R some, obtemos
I_\varepsilon(s)=2\pi i\,e^{-\varepsilon s}.
Logo
\frac{1}{2\pi i}I_\varepsilon(s)=e^{-\varepsilon s}\;\xrightarrow{\;\varepsilon\to0^+\;}1.

Passo 3

Agora considere s<0. Repetimos a construção, mas fechamos o contorno no semiplano inferior, onde e^{i z s} decai. Nesse semiplano não há polo (o único polo z=i\,\varepsilon fica acima do eixo real), de modo que a soma das integrais é zero. Pelo mesmo argumento do lema de Jordan, a contribuição do semicírculo inferior some e ficamos com
I_\varepsilon(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2\pi i}I_\varepsilon(s)=0.

Resposta

u(s)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i x s}}{x - i\,\varepsilon}\,dx =\begin{cases}0,&s<0,\\\ 1,&s>0,\end{cases}
mostrando a representação integral desejada.

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