A função degrau unitária é definida como (compare com o Exercício 1.15.13)
u(s-a)= 0, & s<a 1, & s>a
Mostre que u(s) tem as representações integrais. Nota: O parâmetro s é real.
u(s)=lim varepsilon 0^+ 12 pi i integral-infty^infty e^i x sx-i varepsilon d x

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que a unidade de Heaviside
u(s)=0,&s<0,1,&s>0
pode ser escrita como
u(s)=limvarepsilonto0^+12pi iintegral-infty^inftye^i x sx - i,varepsilon,dx
Para isso usaremos integração no plano complexo, fechando o caminho em semicírculos e aplicando o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Considere primeiro . Defina
  1. Fechamos o contorno pela semirreta real mais o semicírculo no semiplano superior de raio .
  2. No interior deste contorno há um único polo simples em . A contribuição do semicírculo tende a zero quando por causa do lema de Jordan (já que faz decair).
  3. Pelo Teorema dos Resíduos,
O resíduo é
Passando ao limite e usando que a integral em some, obtemos
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Passo 3

Agora considere s<0. Repetimos a construção, mas fechamos o contorno no semiplano inferior, onde e^i z s decai. Nesse semiplano não há polo (o único polo z=i,varepsilon fica acima do eixo real), de modo que a soma das integrais é zero. Pelo mesmo argumento do lema de Jordan, a contribuição do semicírculo inferior some e ficamos com
Ivarepsilon(s)=0 Longrightarrow 12pi iIvarepsilon(s)=0

Resposta

u(s)=limvarepsilonto0^+12pi iintegral-infty^inftye^i x sx - i,varepsilon,dx =0,&s<0,1,&s>0,
mostrando a representação integral desejada.

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