7.1.9 Mostre que
O que acontece se
? O que acontece se
?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
mostrando que para
vale
e investigar os casos
e
. O conteúdo necessário é integrar usando a substituição complexa
e aplicar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
e obtemos
Logo
Passo 3
Denotando
as raízes de
são
São polos simples de
. Pelo Teorema dos Resíduos,
E para um polo simples
,
Aqui
então
Passo 4
Se
, o único polo dentro de
é
. Assim
Passo 5
Se
, o único polo dentro de
é
. Então
Passo 6
Se
, as raízes
e
ficam exatamente sobre o contorno
. Isso significa que a integral encontra singularidade no caminho de integração, e portanto diverge (não é convergente).
Resposta
Para
:
Para
:
Para
, a integral diverge.