7.1.9 Mostre que
\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{1-2 t \cos \theta+t^{2}}=\frac{2 \pi}{1-t^{2}}, \quad \text { para }|t|<1
O que acontece se |t|>1 ? O que acontece se |t|=1 ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I(t)=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2t\cos\theta+t^2},
mostrando que para |t|<1 vale
I(t)=\frac{2\pi}{1-t^2},
e investigar os casos |t|>1 e |t|=1. O conteúdo necessário é integrar usando a substituição complexa z=e^{i\theta} e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
z=e^{i\theta},\quad d\theta=\frac{dz}{i\,z},\quad \cos\theta=\frac{z+z^{-1}}{2},
e obtemos
1-2t\cos\theta+t^2 =1-t\bigl(z+z^{-1}\bigr)+t^2 =\frac{-t\,z^2+(1+t^2)z-t}{z}.
Logo
I(t) =\oint_{|z|=1}\frac{1}{1-2t\cos\theta+t^2}\,\frac{dz}{i\,z} =\frac{1}{i}\oint_{|z|=1}\frac{dz}{-t\,z^2+(1+t^2)z-t}.

Passo 3

Denotando
g(z)=-t\,z^2+(1+t^2)z-t,
as raízes de g(z)=0 são
z_1=t, \qquad z_2=\frac1t.
São polos simples de f(z)=1/(i\,g(z)). Pelo Teorema dos Resíduos,
I(t)=2\pi i\sum_{\substack{\text{polos}\\text{dentro de }|z|=1}} \Res\bigl(f,z_k\bigr).
E para um polo simples z_k,
\Res\bigl(f,z_k\bigr) =\frac{1}{i\,g'(z_k)}.
Aqui
g'(z)=-2t\,z+(1+t^2),
então
g'(t)=-2t^2+1+t^2=1-t^2, \qquad g'\bigl(\tfrac1t\bigr) =-2t\cdot\tfrac1t+(1+t^2)=t^2-1.

Passo 4

Se |t|<1, o único polo dentro de |z|=1 é z=t. Assim
I(t) =2\pi i\cdot\frac{1}{i\,(1-t^2)} =\frac{2\pi}{1-t^2}.

Passo 5

Se |t|>1, o único polo dentro de |z|=1 é z=1/t. Então
I(t) =2\pi i\cdot\frac{1}{i\,(t^2-1)} =\frac{2\pi}{t^2-1}.

Passo 6

Se |t|=1, as raízes t e 1/t ficam exatamente sobre o contorno |z|=1. Isso significa que a integral encontra singularidade no caminho de integração, e portanto diverge (não é convergente).

Resposta

Para |t|<1:
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2t\cos\theta+t^2} =\frac{2\pi}{1-t^2}.
Para |t|>1:
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2t\cos\theta+t^2} =\frac{2\pi}{t^2-1}.
Para |t|=1, a integral diverge.

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