7.1.9 Mostre que
integral0^2 pi d theta1-2 t cos theta+t^2=2 pi1-t^2, para |t|<1
O que acontece se |t|>1 ? O que acontece se |t|=1 ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I(t)=integral0^2pidtheta1-2tcostheta+t^2,
mostrando que para |t|<1 vale
I(t)=2pi1-t^2,
e investigar os casos |t|>1 e |t|=1. O conteúdo necessário é integrar usando a substituição complexa z=e^itheta e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
z=e^itheta, dtheta=dzi,z, costheta=z+z^-12,
e obtemos
1-2tcostheta+t^2 =1-tl(z+z^-1r)+t^2 =-t,z^2+(1+t^2)z-tz
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I(t) =oint|z|=111-2tcostheta+t^2,dzi,z =1ioint|z|=1dz-t,z^2+(1+t^2)z-t

Passo 3

Denotando
as raízes de são
São polos simples de . Pelo Teorema dos Resíduos,
E para um polo simples ,
Aqui
então

Passo 4

Se |t|<1, o único polo dentro de |z|=1 é z=t. Assim
I(t) =2pi icdot1i,(1-t^2) =2pi1-t^2

Passo 5

Se |t|>1, o único polo dentro de |z|=1 é z=1/t. Então
I(t) =2pi icdot1i,(t^2-1) =2pit^2-1

Passo 6

Se |t|=1, as raízes t e 1/t ficam exatamente sobre o contorno |z|=1. Isso significa que a integral encontra singularidade no caminho de integração, e portanto diverge (não é convergente).

Resposta

Para |t|<1:
integral0^2pidtheta1-2tcostheta+t^2 =2pi1-t^2
Para |t|>1:
integral0^2pidtheta1-2tcostheta+t^2 =2pit^2-1
Para |t|=1, a integral diverge.

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