Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
\frac{1}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(z)=\frac{1}{\bigl(z^2+a^2\bigr)^2}
identificarmos as singularidades (natureza delas) e calcul armos os resíduos.
O conteúdo que vamos usar é:
– Singularidades vêm das raízes de z^2+a^2=0.
– Quando temos um polo de ordem n, o resíduo em z_0 é dado por
\Res(f,z_0) =\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{\,n-1}}{dz^{\,n-1}}\Bigl[(z-z_0)^n f(z)\Bigr].

Passo 2

As singularidades estão em
z^2+a^2=0\quad\Longrightarrow\quad z=\pm i\,a.
Como o denominador se fatoriza em
(z-i\,a)^2\,(z+i\,a)^2,
cada ponto z=ia e z=-ia é um polo de ordem 2.

Passo 3

Vamos calcular \Res(f,\,i a). Aqui n=2 e
(z-i a)^2\,f(z) =\frac{(z-i a)^2}{\bigl((z-i a)(z+i a)\bigr)^2} =\frac{1}{(z+i a)^2}.
Pela fórmula,
\Res(f,\,i a) =\lim_{z\to i a}\frac{d}{dz}\!\Bigl[\frac{1}{(z+i a)^2}\Bigr] =\lim_{z\to i a}\Bigl(-2\Bigr)\frac{1}{(z+i a)^3} =-2\cdot\frac{1}{(2i a)^3}.
Como
(2i a)^3=8\,i^3\,a^3=-8\,i\,a^3,
segue
\Res(f,\,i a) =-2\big/(-8\,i\,a^3) =\frac{2}{8\,i\,a^3} =\frac{1}{4\,i\,a^3} =-\frac{i}{4\,a^3}.

Passo 4

Agora \Res(f,\,-i a). Temos
(z+i a)^2\,f(z) =\frac{1}{(z-i a)^2},
e então
\Res(f,\,-i a) =\lim_{z\to -i a}\frac{d}{dz}\!\Bigl[\frac{1}{(z-i a)^2}\Bigr] =\lim_{z\to -i a}\Bigl(-2\Bigr)\frac{1}{(z-i a)^3} =-2\cdot\frac{1}{(-2i a)^3}.
Note que
(-2i a)^3=-8\,i^3\,a^3=8\,i\,a^3,
logo
\Res(f,\,-i a) =-2/(8\,i\,a^3) =-\frac{1}{4\,i\,a^3} =\frac{i}{4\,a^3}.

Resposta

As únicas singularidades são z=ia e z=-ia, ambas polos de ordem 2.
Os resíduos valem
\Res\bigl(f,\,i a\bigr)=-\frac{i}{4\,a^3}, \qquad \Res\bigl(f,\,-i a\bigr)=\frac{i}{4\,a^3}.

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