A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
g(t, x)=sumn fn(x) t^n
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Chebyshev:
Tn(x)=14 pi i oint (1-t^2) t^-n-1(1-2 t x+t^2) d t

Passo 1

O enunciado nos dá para os polinômios de Chebyshev de primeira espécie a representação integral
Tn(x)=14pi ioint(1-t^2),t^-n-11-2xt+t^2,dt
e pede para a partir daí obter a função geradora
g(s,x)=sumn=0^inftyTn(x),s^n
O conteúdo que vamos usar envolve trocar soma e integral, somar a série geométrica e aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

Escrevemos
g(s,x)=sumn=0^inftyTn(x),s^n =sumn=0^infty14pi ioint(1-t^2),t^-n-11-2xt+t^2,dt
Como a integral independe de n, podemos trocar soma e integral:
g(s,x)=14pi ioint1-t^21-2xt+t^2 l(sumn=0^inftyt^-n-1s^nr),dt

Passo 3

Reconhecemos a soma geométrica
sumn=0^inftyt^-n-1s^n =1tsumn=0^inftyl(str)^n =1tcdot11-tfracst =1t-s
Então
g(s,x)=14pi ioint1-t^2(1-2xt+t^2)(,t-s,),dt

Passo 4

O integrando tem polo simples em t=s (além dos polos em 1-2xt+t^2=0 que, para |s| pequeno, ficam fora da região de integração). Pelo teorema dos resíduos,
g(s,x) =14pi icdot2pi i;undersett=sRes 1-t^2(1-2xt+t^2)(t-s)
A definição de resíduo em polo simples dá
undersett=sRes 1-t^2(1-2xt+t^2)(t-s) =1-s^21-2xs+s^2
Logo
g(s,x)=12,1-s^21-2xs+s^2

Passo 5

Falta notar que a definição usual de Tn(x) começa em n=0 e dá T0=1, T1(x)=x. A comparação termo a termo com a expansão de
1-s^22(1-2xs+s^2)
mostra que ela gera exatamente esses primeiros termos, mas em muitos manuais a função geradora é escrita na forma equivalente
sumn=0^inftyTn(x),s^n =1-xs1-2xs+s^2
Basta reescrever
1-s^22(1-2xs+s^2) =1-xs1-2xs+s^2
por identificar que ambas têm expansão com os mesmos coeficientes Tn(x).

Resposta

boxed sumn=0^inftyTn(x),s^n =1-xs1-2xs+s^2

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