A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Chebyshev:
Chebyshev:
Passo 1
O enunciado nos dá para os polinômios de Chebyshev de primeira espécie a representação integral
e pede para a partir daí obter a função geradora
O conteúdo que vamos usar envolve trocar soma e integral, somar a série geométrica e aplicar o teorema dos resíduos.
Passo 2
Escrevemos
Como a integral independe de
, podemos trocar soma e integral:
Passo 3
Reconhecemos a soma geométrica
Então
Passo 4
O integrando tem polo simples em
(além dos polos em
que, para
pequeno, ficam fora da região de integração). Pelo teorema dos resíduos,
A definição de resíduo em polo simples dá
Logo
Passo 5
Falta notar que a definição usual de
começa em
e dá
,
. A comparação termo a termo com a expansão de
mostra que ela gera exatamente esses primeiros termos, mas em muitos manuais a função geradora é escrita na forma equivalente
Basta reescrever
por identificar que ambas têm expansão com os mesmos coeficientes
.