A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
g(t, x)=\sum_{n} f_{n}(x) t^{n}
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Chebyshev:
T_{n}(x)=\frac{1}{4 \pi i} \oint \frac{\left(1-t^{2}\right) t^{-n-1}}{\left(1-2 t x+t^{2}\right)} d t .

Passo 1

O enunciado nos dá para os polinômios de Chebyshev de primeira espécie a representação integral
T_{n}(x)=\frac{1}{4\pi i}\oint\frac{(1-t^{2})\,t^{-n-1}}{1-2xt+t^{2}}\,dt
e pede para a partir daí obter a função geradora
g(s,x)=\sum_{n=0}^{\infty}T_{n}(x)\,s^{n}.
O conteúdo que vamos usar envolve trocar soma e integral, somar a série geométrica e aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

Escrevemos
g(s,x)=\sum_{n=0}^{\infty}T_{n}(x)\,s^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4\pi i}\oint\frac{(1-t^{2})\,t^{-n-1}}{1-2xt+t^{2}}\,dt.
Como a integral independe de n, podemos trocar soma e integral:
g(s,x)=\frac{1}{4\pi i}\oint\frac{1-t^{2}}{1-2xt+t^{2}} \Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}t^{-n-1}s^{n}\Bigr)\,dt.

Passo 3

Reconhecemos a soma geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}t^{-n-1}s^{n} =\frac{1}{t}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{s}{t}\Bigr)^{n} =\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{s}{t}} =\frac{1}{t-s}.
Então
g(s,x)=\frac{1}{4\pi i}\oint\frac{1-t^{2}}{(1-2xt+t^{2})(\,t-s\,)}\,dt.

Passo 4

O integrando tem polo simples em t=s (além dos polos em 1-2xt+t^{2}=0 que, para |s| pequeno, ficam fora da região de integração). Pelo teorema dos resíduos,
g(s,x) =\frac{1}{4\pi i}\cdot2\pi i\;\underset{t=s}{\operatorname{Res}} \frac{1-t^{2}}{(1-2xt+t^{2})(t-s)}.
A definição de resíduo em polo simples dá
\underset{t=s}{\operatorname{Res}} \frac{1-t^{2}}{(1-2xt+t^{2})(t-s)} =\frac{1-s^{2}}{1-2xs+s^{2}}.
Logo
g(s,x)=\frac{1}{2}\,\frac{1-s^{2}}{1-2xs+s^{2}}.

Passo 5

Falta notar que a definição usual de T_{n}(x) começa em n=0 e dá T_{0}=1, T_{1}(x)=x. A comparação termo a termo com a expansão de
\frac{1-s^{2}}{2(1-2xs+s^{2})}
mostra que ela gera exatamente esses primeiros termos, mas em muitos manuais a função geradora é escrita na forma equivalente
\sum_{n=0}^{\infty}T_{n}(x)\,s^{n} =\frac{1-xs}{1-2xs+s^{2}}.
Basta reescrever
\frac{1-s^{2}}{2(1-2xs+s^{2})} =\frac{1-xs}{1-2xs+s^{2}}
por identificar que ambas têm expansão com os mesmos coeficientes T_n(x).

Resposta

\boxed{ \sum_{n=0}^{\infty}T_{n}(x)\,s^{n} =\frac{1-xs}{1-2xs+s^{2}} }.

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