7.1.16 Na teoria quântica de colisões atômicas encontramos a integral
I=integral-infty^infty sen tt e^i p t d t
na qual p é real. Mostre que
ll I=0, & |p|>1 I=pi, & |p|<1
O que acontece se p= pm 1 ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular
onde é real. O conteúdo que vamos usar é a decomposição de em exponenciais e o resultado conhecido (como valor principal de Cauchy)
onde é a função sinal de .

Passo 2

Usamos
sen t = e^i t-e^-i t2i,
para escrever
I = integral-infty^infty 1t,e^i t-e^-i t2i,e^i p t,dt = 12il[integral-infty^inftye^i(p+1)tt,dt ;-;integral-infty^inftye^i(p-1)tt,dtr]

Passo 3

Pelo resultado padrão, para cada integral vale
Logo

Passo 4

Substituindo em , obtemos

Passo 5

Agora avaliamos caso a caso:
  • Se , então e , logo
  • Se , então e , logo
  • Se , então e , logo
  • Se , tomamos o valor principal , dando

Resposta

Para lvert prvert>1 temos I=0.
Para lvert prvert<1 temos I=pi.
Para p=pm1 surge o valor intermediário
I=pi2

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