7.1.16 Na teoria quântica de colisões atômicas encontramos a integral
I=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} t}{t} e^{i p t} d t
na qual p é real. Mostre que
\begin{array}{ll} I=0, & |p|>1 \\\ I=\pi, & |p|<1 . \end{array}
O que acontece se p= \pm 1 ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sen} t}{t}\,e^{i p t}\,dt,
onde p é real. O conteúdo que vamos usar é a decomposição de \operatorname{sen} t em exponenciais e o resultado conhecido (como valor principal de Cauchy)
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i a t}}{t}\,dt = i\pi\,\sgn(a),
onde \sgn(a) é a função sinal de a.

Passo 2

Usamos
\operatorname{sen} t = \frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2i},
para escrever
I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{t}\,\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2i}\,e^{i p t}\,dt = \frac{1}{2i}\Bigl[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i(p+1)t}}{t}\,dt \;-\;\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i(p-1)t}}{t}\,dt\Bigr].

Passo 3

Pelo resultado padrão, para cada integral vale
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i a t}}{t}\,dt = i\pi\,\sgn(a).
Logo
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i(p+1)t}}{t}\,dt = i\pi\,\sgn(p+1), \quad \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i(p-1)t}}{t}\,dt = i\pi\,\sgn(p-1).

Passo 4

Substituindo em I, obtemos
I = \frac{1}{2i}\Bigl[i\pi\,\sgn(p+1) - i\pi\,\sgn(p-1)\Bigr] = \frac{\pi}{2}\bigl[\sgn(p+1)-\sgn(p-1)\bigr].

Passo 5

Agora avaliamos caso a caso:
  • Se -1<p<1, então \sgn(p+1)=+1 e \sgn(p-1)=-1, logo I = \frac{\pi}{2}(1 - (-1)) = \pi.
  • Se p>1, então \sgn(p+1)=+1 e \sgn(p-1)=+1, logo I = \frac{\pi}{2}(1 - 1) = 0.
  • Se p<-1, então \sgn(p+1)=-1 e \sgn(p-1)=-1, logo I = \frac{\pi}{2}(-1 -(-1)) = 0.
  • Se p=\pm1, tomamos o valor principal \sgn(0)=0, dando I = \frac{\pi}{2}\bigl[\sgn(\pm1+1)-\sgn(\pm1-1)\bigr] = \frac{\pi}{2}(1-0)=\frac{\pi}{2}.

Resposta

Para \lvert p\rvert>1 temos I=0.
Para \lvert p\rvert<1 temos I=\pi.
Para p=\pm1 surge o valor intermediário
I=\frac{\pi}{2}.

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