7.1.16 Na teoria quântica de colisões atômicas encontramos a integral
na qual
é real. Mostre que
O que acontece se
?
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é real. O conteúdo que vamos usar é a decomposição de
em exponenciais e o resultado conhecido (como valor principal de Cauchy)
onde é a função sinal de
.
Passo 2
Usamos
para escrever
Passo 3
Pelo resultado padrão, para cada integral vale
Logo
Passo 4
Substituindo em
, obtemos
Passo 5
Agora avaliamos caso a caso:
- Se
, então e , logo - Se
, então e , logo - Se
, então e , logo - Se
, tomamos o valor principal , dando
Resposta
Para
temos
.
Para temos
.
Para surge o valor intermediário
Para
Para