Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos .
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (i) a natureza das singularidades e (ii) os resíduos. Aqui temos dois pontos críticos: (onde aparece o fator com expoente não inteiro) e (zero do denominador). Vamos usar conceitos de pontos singulares isolados, pólos simples e ponto de ramificação.
Passo 2
Em o fator é multi-valorado porque não é inteiro. Isso faz de um ponto de ramificação (branch point), não um pólo nem um singular isolado. Para tornar monovalorada, escolhemos um ramo de com num intervalo de comprimento ; o corte de ramo pode ser, por exemplo, o semieixo positivo. Concluímos que em há uma singularidade de ramificação.
Apesar de não ser singular isolado, podemos verificar se há coeficiente na expansão de Laurent em torno de . Para ,
logo
O termo ocorreria se , i.e.\ , mas como não existe que satisfaça. Portanto o coeficiente de na parte principal é zero, isto é,
Passo 3
Em o denominador se anula e o numerador é finito (no ramo escolhido). Como e tem pólo simples, concluímos que z=-1 é um pólo simples de f.
Passo 4
Para um pólo simples em ,
No ramo principal, , logo
Resposta
A função tem
– em um ponto de ramificação (branch point) não isolado, com .
– em um pólo simples, com
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 7.1 - Ex. 7.1.1.h