Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
z^-kz+1, 0<k<1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=z^-kz+1, 0<k<1,
e pede (i) a natureza das singularidades e (ii) os resíduos. Aqui temos dois pontos críticos: z=0 (onde aparece o fator z^-k com expoente não inteiro) e z=-1 (zero do denominador). Vamos usar conceitos de pontos singulares isolados, pólos simples e ponto de ramificação.

Passo 2

Em o fator é multi-valorado porque não é inteiro. Isso faz de um ponto de ramificação (branch point), não um pólo nem um singular isolado. Para tornar monovalorada, escolhemos um ramo de com num intervalo de comprimento ; o corte de ramo pode ser, por exemplo, o semieixo positivo. Concluímos que em há uma singularidade de ramificação.
Apesar de não ser singular isolado, podemos verificar se há coeficiente na expansão de Laurent em torno de . Para ,
logo
O termo ocorreria se , i.e.\ , mas como não existe que satisfaça. Portanto o coeficiente de na parte principal é zero, isto é,

Passo 3

Em z=-1 o denominador se anula e o numerador (-1)^-k é finito (no ramo escolhido). Como z^-kz+1=(z+1)^-1cdot z^-k e l(z+1)^-1r|z=-1 tem pólo simples, concluímos que z=-1 é um pólo simples de f.

Passo 4

Para um pólo simples em ,
No ramo principal, , logo

Resposta

A função tem
– em um ponto de ramificação (branch point) não isolado, com .
– em um pólo simples, com

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