Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos \frac{z^{-k}}{z+1}, \quad 0<k<1.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(z)=\frac{z^{-k}}{z+1},\quad 0<k<1,
e pede (i) a natureza das singularidades e (ii) os resíduos. Aqui temos dois pontos críticos: z=0 (onde aparece o fator z^{-k} com expoente não inteiro) e z=-1 (zero do denominador). Vamos usar conceitos de pontos singulares isolados, pólos simples e ponto de ramificação.
Passo 2
Em z=0 o fator z^{-k} é multi-valorado porque k não é inteiro. Isso faz de z=0 um ponto de ramificação (branch point), não um pólo nem um singular isolado. Para tornar f monovalorada, escolhemos um ramo de z^{-k}=e^{-k\Log z} com \arg z num intervalo de comprimento 2\pi; o corte de ramo pode ser, por exemplo, o semieixo positivo. Concluímos que em z=0 há uma singularidade de ramificação.
Apesar de não ser singular isolado, podemos verificar se há coeficiente z^{-1} na expansão de Laurent em torno de 0. Para |z|<1,
O termo z^{-1} ocorreria se n-k=-1, i.e.\ n=k-1, mas como k\notin\mathbb{Z} não existe n\in\mathbb{N} que satisfaça. Portanto o coeficiente de z^{-1} na parte principal é zero, isto é,
\operatorname{Res}(f,0)=0.
Passo 3
Em z=-1 o denominador se anula e o numerador (-1)^{-k} é finito (no ramo escolhido). Como \frac{z^{-k}}{z+1}=(z+1)^{-1}\cdot z^{-k} e \bigl.(z+1)^{-1}\bigr|_{z=-1} tem pólo simples, concluímos que z=-1 é um pólo simples de f.