7.1.11 Avalie

integral-infty^infty cos b x-cos a xx^2 d x, a>b>0
Resposta: pi(a-b).

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o integral impróprio
I=integral-infty^inftycos(bx)-cos(ax)x^2,dx,
com a>b>0.
O conteúdo principal aqui é tratar de integrais impróprias de funções pares e usar o resultado clássico
integral0^infty1-cos(alpha x)x^2,dx=pi,alpha2(alpha>0)

Passo 2

Note que o integrando
f(x)=cos(bx)-cos(ax)x^2
é uma função par, pois
f(-x)=cos(b(-x))-cos(a(-x))(-x)^2 =cos(bx)-cos(ax)x^2=f(x)
Além disso o integral converge (diferença de cossenos anula a singularidade em x=0 e decai como 1/x^2 no infinito). Logo
I=2integral0^inftycos(bx)-cos(ax)x^2,dx

Passo 3

Definimos a função de parâmetro
J(alpha)=integral0^infty1-cos(alpha x)x^2,dx, alpha>0
Para encontrar J(alpha), diferenciamos em relação a alpha sob o sinal do integral:
J'(alpha) =ddalphaintegral0^infty1-cos(alpha x)x^2,dx =integral0^inftypartialpartialalphal(1-cos(alpha x)r)dxx^2 =integral0^inftyxsin(alpha x)x^2,dx =integral0^inftysin(alpha x)x,dx
É conhecido que
integral0^inftysin(alpha x)x,dx=pi2(alpha>0),
logo
J'(alpha)=pi2

Passo 4

Integrando em alpha, obtemos
J(alpha)=pi2,alpha + C
Como em alpha=0 o integral J(0)=0, segue C=0. Portanto
J(alpha)=pi,alpha2

Passo 5

Reescrevemos a integral de interesse em termos de J:
integral0^inftycos(bx)-cos(ax)x^2,dx =integral0^infty1-cos(ax)x^2,dx -integral0^infty1-cos(bx)x^2,dx =J(a)-J(b) =pi,a2-pi,b2 =pi,(a-b)2
Portanto, voltando ao integral original par e multiplicando por 2:
I=2cdotpi,(a-b)2=pi,(a-b)

Resposta

pi,(a-b)

Exercícios de Livros Relacionados