7.1.11 Avalie
Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar o integral impróprio
com
.
O conteúdo principal aqui é tratar de integrais impróprias de funções pares e usar o resultado clássico
O conteúdo principal aqui é tratar de integrais impróprias de funções pares e usar o resultado clássico
Passo 2
Note que o integrando
é uma função par, pois
Além disso o integral converge (diferença de cossenos anula a singularidade em
e decai como
no infinito). Logo
Passo 3
Definimos a função de parâmetro
Para encontrar
, diferenciamos em relação a
sob o sinal do integral:
É conhecido que
logo
Passo 4
Integrando em
, obtemos
Como em
o integral
, segue
. Portanto
Passo 5
Reescrevemos a integral de interesse em termos de
:
Portanto, voltando ao integral original par e multiplicando por 2: