7.1.11 Avalie

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos b x-\cos a x}{x^{2}} d x, \quad a>b>0
Resposta: \pi(a-b).

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o integral impróprio
I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(bx)-\cos(ax)}{x^{2}}\,dx,
com a>b>0.
O conteúdo principal aqui é tratar de integrais impróprias de funções pares e usar o resultado clássico
\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(\alpha x)}{x^{2}}\,dx=\frac{\pi\,\alpha}{2}\quad(\alpha>0).

Passo 2

Note que o integrando
f(x)=\frac{\cos(bx)-\cos(ax)}{x^{2}}
é uma função par, pois
f(-x)=\frac{\cos(b(-x))-\cos(a(-x))}{(-x)^{2}} =\frac{\cos(bx)-\cos(ax)}{x^{2}}=f(x).
Além disso o integral converge (diferença de cossenos anula a singularidade em x=0 e decai como 1/x^{2} no infinito). Logo
I=2\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(bx)-\cos(ax)}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Definimos a função de parâmetro
J(\alpha)=\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(\alpha x)}{x^{2}}\,dx,\quad \alpha>0.
Para encontrar J(\alpha), diferenciamos em relação a \alpha sob o sinal do integral:
J'(\alpha) =\frac{d}{d\alpha}\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(\alpha x)}{x^{2}}\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial\alpha}\bigl(1-\cos(\alpha x)\bigr)\frac{dx}{x^{2}} =\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin(\alpha x)}{x^{2}}\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}\,dx.
É conhecido que
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}\quad(\alpha>0),
logo
J'(\alpha)=\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Integrando em \alpha, obtemos
J(\alpha)=\frac{\pi}{2}\,\alpha + C.
Como em \alpha=0 o integral J(0)=0, segue C=0. Portanto
J(\alpha)=\frac{\pi\,\alpha}{2}.

Passo 5

Reescrevemos a integral de interesse em termos de J:
\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(bx)-\cos(ax)}{x^{2}}\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(ax)}{x^{2}}\,dx -\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(bx)}{x^{2}}\,dx =J(a)-J(b) =\frac{\pi\,a}{2}-\frac{\pi\,b}{2} =\frac{\pi\,(a-b)}{2}.
Portanto, voltando ao integral original par e multiplicando por 2:
I=2\cdot\frac{\pi\,(a-b)}{2}=\pi\,(a-b).

Resposta

\pi\,(a-b).

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