7.1.7 Generalizando o Exemplo 7.1.2, mostre que
\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{a \pm b \cos \theta}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{a \pm b \operatorname{sen} \theta}=\frac{2 \pi}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{1 / 2}}, \quad \text { para } a>|b|
O que acontece se |b|>|a| ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a>|b|,
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a\pm b\cos\theta} =\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a\pm b\sin\theta} =\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}},
e investigar o que ocorre se |b|>|a|. Vamos usar a substituição de Weierstrass \;t=\tan(\theta/2)\; para transformar o integral trigonométrico num integral racional em t.

Passo 2

Aplicando t=\tan(\theta/2) temos
\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad d\theta=\frac{2\,dt}{1+t^2},
então, por exemplo,
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos\theta} =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2\,dt}{(1+t^2)\Bigl(a+b\frac{1-t^2}{1+t^2}\Bigr)} =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2\,dt}{a(1+t^2)+b(1-t^2)}.
No denominador,
a(1+t^2)+b(1-t^2)=(a+b)+(a-b)\,t^2.

Passo 3

Defina \alpha=a+b e \beta=a-b. Para a>|b| temos \alpha>0 e \beta>0, e usamos o resultado
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{\alpha+\beta t^2} =\frac{\pi}{\sqrt{\alpha\beta}}.
Logo
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos\theta} =\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2\,dt}{\alpha+\beta t^2} =2\;\frac{\pi}{\sqrt{\alpha\beta}} =\frac{2\pi}{\sqrt{(a+b)(a-b)}} =\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}.

Passo 4

Para \int_{0}^{2\pi}d\theta/(a+b\sin\theta) faz-se a mudança \theta=\varphi+\pi/2, pois \sin\theta=\cos\varphi e d\theta=d\varphi. O cálculo segue idêntico ao caso “cos” e dá o mesmo valor
\;2\pi/\sqrt{a^2-b^2}.

Passo 5

Se |b|>|a|, então em a\pm b\cos\theta (ou a\pm b\sin\theta) existe \theta real que zera o denominador, gerando pólos não integráveis no intervalo [0,2\pi]. O integral torna-se impropriamente divergente.

Resposta

\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a\pm b\cos\theta} =\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a\pm b\sin\theta} =\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}} \quad\text{para }a>|b|.
Se |b|>|a|, o integral diverge.

Exercícios de Livros Relacionados