7.1.7 Generalizando o Exemplo 7.1.2, mostre que
O que acontece se
?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
,
e investigar o que ocorre se
. Vamos usar a substituição de Weierstrass
para transformar o integral trigonométrico num integral racional em
.
Passo 2
Aplicando
temos
então, por exemplo,
No denominador,
Passo 3
Defina
e
. Para
temos
e
, e usamos o resultado
Logo
Passo 4
Para
faz-se a mudança
, pois
e
. O cálculo segue idêntico ao caso “cos” e dá o mesmo valor
.
Passo 5
Se
, então em
(ou
) existe
real que zera o denominador, gerando pólos não integráveis no intervalo
. O integral torna-se impropriamente divergente.
Resposta
Se
, o integral diverge.