7.1.7 Generalizando o Exemplo 7.1.2, mostre que
integral0^2 pi d thetaa pm b cos theta=integral0^2 pi d thetaa pm b sen theta=2 pi(a^2-b^2)^1 / 2, para a>|b|
O que acontece se |b|>|a| ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a>|b|,
integral0^2pidthetaapm bcostheta =integral0^2pidthetaapm bsintheta =2piraiza^2-b^2,
e investigar o que ocorre se |b|>|a|. Vamos usar a substituição de Weierstrass ;t=tan(theta/2); para transformar o integral trigonométrico num integral racional em t.

Passo 2

Aplicando t=tan(theta/2) temos
costheta=1-t^21+t^2, dtheta=2,dt1+t^2,
então, por exemplo,
integral0^2pidthetaa+bcostheta =integral-infty^+infty 2,dt(1+t^2)l(a+b1-t^21+t^2r) =integral-infty^+infty 2,dta(1+t^2)+b(1-t^2)
No denominador,
a(1+t^2)+b(1-t^2)=(a+b)+(a-b),t^2

Passo 3

Defina alpha=a+b e beta=a-b. Para a>|b| temos alpha>0 e beta>0, e usamos o resultado
integral-infty^+inftydtalpha+beta t^2 =piraizalphabeta
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integral0^2pidthetaa+bcostheta =integral-infty^+infty2,dtalpha+beta t^2 =2;piraizalphabeta =2piraiz(a+b)(a-b) =2piraiza^2-b^2

Passo 4

Para integral0^2pidtheta/(a+bsintheta) faz-se a mudança theta=phi+pi/2, pois sintheta=cosphi e dtheta=dphi. O cálculo segue idêntico ao caso “cos” e dá o mesmo valor
;2pi/raiza^2-b^2.

Passo 5

Se |b|>|a|, então em apm bcostheta (ou apm bsintheta) existe theta real que zera o denominador, gerando pólos não integráveis no intervalo [0,2pi]. O integral torna-se impropriamente divergente.

Resposta

integral0^2pidthetaapm bcostheta =integral0^2pidthetaapm bsintheta =2piraiza^2-b^2 para a>|b|
Se |b|>|a|, o integral diverge.

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