Determine o número de algarismos do período da representação decimal das frações ordinárias irredutíveis cujos denominadores são:
11

Passo 1

O enunciado pede o número de algarismos do período da representação decimal das frações irredutíveis cujo denominador é 11. O conteúdo aqui é o conceito de ordem multiplicativa: o comprimento do período decimal de tfracan (com gcd(a,n)=1) é o menor inteiro k>0 tal que 10^k equiv 1 pmod n.

Passo 2

Para uma fração tfraca11 (com gcd(a,11)=1), o período decimal tem comprimento dado pela ordem de 10 no grupo multiplicativo (Z/11Z)^*. Ou seja, é o menor k satisfazendo
10^k equiv 1 pmod11

Passo 3

Calculamos:
10^1 equiv 10 equiv -1 pmod11,
logo ainda não é 1. Em seguida,
10^2 equiv (-1)^2 equiv 1 pmod11
Portanto o menor k é 2.

Passo 4

Concluímos que todas as frações irredutíveis com denominador 11 têm período decimal de 2 algarismos.

Resposta

2

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