Para todo A subset I R, A neq varnothing, e para todo c in R, ponhamos, por definição, cA=cx mid x in A. Isso posto, se A é limitado ( Long<=ftrightarrow limitado superior e inferiormente), prove que:
a) sup (c A)=c sup A se c >= 0 e sup (c A)=c inf A se c <= 0
b) inf (c A)=c inf A se c >= 0 e inf (c A)=c sup A se c <= 0

Passo 1

O enunciado considera um conjunto não vazio e limitado AsubsetR e define, para cinR,
cA=,cxmid xin A
Queremos usar as propriedades de ordem em R e as definições de supremo e ínfimo para mostrar como sup(cA) e inf(cA) se relacionam com sup A e inf A nos dois casos c>= 0 e c<= 0.

Passo 2

(Caso c>= 0, cálculo de sup(cA)).
  1. Para todo xin A vale x<= sup A. Como c>=0, ao multiplicar obtemos
cx;<=;c,sup A,
o que mostra que c,sup A é uma cota superior de cA.
2. Seja varepsilon>0. Pela definição de supremo de A, existe xvarepsilonin A tal que
sup A - varepsilonc ;<; xvarepsilon ;<=;sup A
Multiplicando por c>=0 inverte nada, ficando
c,xvarepsilon ;>; c,sup A - varepsilon,
o que implica que cA não admite cota superior menor que c,sup A.
Logo sup(cA)=c,sup A.

Passo 3

(Caso c<= 0, cálculo de sup(cA)).
  1. Para todo xin A vale x>= inf A. Como c<=0, multiplicar inverte a desigualdade:
cx;<=;c,inf A,
logo c,inf A é cota superior de cA.
2. Dado varepsilon>0, pela definição de ínfimo de A existe xvarepsilonin A com
inf A ;<=; xvarepsilon ;<;inf A + varepsilon|c|
Como c<0, ao multiplicar obtemos
c,xvarepsilon ;>; c,inf A - varepsilon,
implicando que não há cota superior menor que c,inf A.
Logo sup(cA)=c,inf A.

Passo 4

(Caso c>= 0, cálculo de inf(cA)).
  1. Para todo xin A vale x>= inf A. Como c>=0, multiplica sem inverter:
cx;>=;c,inf A,
mostrando que c,inf A é cota inferior de cA.
2. Dado varepsilon>0, existe xvarepsilonin A com
inf A ;<=; xvarepsilon ;<;inf A + varepsilonc
Multiplicando por c>=0
c,xvarepsilon ;<; c,inf A + varepsilon,
o que impede que exista cota inferior maior que c,inf A.
Logo inf(cA)=c,inf A.

Passo 5

(Caso c<= 0, cálculo de inf(cA)).
  1. Para todo xin A vale x<= sup A. Como c<=0, ao multiplicar inverte-se:
cx;>=;c,sup A,
logo c,sup A é cota inferior de cA.
2. Dado varepsilon>0, pela definição de supremo de A existe xvarepsilon com
sup A - varepsilon|c| ;<; xvarepsilon ;<=;sup A
Multiplicando por c<0
c,xvarepsilon ;<; c,sup A + varepsilon,
mostrando que não há cota inferior maior que c,sup A.
Logo inf(cA)=c,sup A.

Resposta

a) sup(cA)= c,sup A,&c>=0, c,inf A,&c<=0;
b) inf(cA)= c,inf A,&c>=0, c,sup A,&c<=0

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