Para todo
, e para todo
, ponhamos, por definição,
. Isso posto, se A é limitado (
limitado superior e inferiormente), prove que:
a)
se
se
b)
se
se
a)
b)
Passo 1
O enunciado considera um conjunto não vazio e limitado
e define, para
,
Queremos usar as propriedades de ordem em
e as definições de supremo e ínfimo para mostrar como
e
se relacionam com
e
nos dois casos
e
.
Passo 2
(Caso
, cálculo de
).
- Para todo
vale . Como , ao multiplicar obtemos
o que mostra que
é uma cota superior de
.
2. Seja . Pela definição de supremo de
, existe
tal que
2. Seja
Multiplicando por
inverte nada, ficando
o que implica que
não admite cota superior menor que
.
Logo .
Logo
Passo 3
(Caso
, cálculo de
).
- Para todo
vale . Como , multiplicar inverte a desigualdade:
logo
é cota superior de
.
2. Dado , pela definição de ínfimo de
existe
com
2. Dado
Como
, ao multiplicar obtemos
implicando que não há cota superior menor que
.
Logo .
Logo
Passo 4
(Caso
, cálculo de
).
- Para todo
vale . Como , multiplica sem inverter:
mostrando que
é cota inferior de
.
2. Dado , existe
com
2. Dado
Multiplicando por
dá
o que impede que exista cota inferior maior que
.
Logo .
Logo
Passo 5
(Caso
, cálculo de
).
- Para todo
vale . Como , ao multiplicar inverte-se:
logo
é cota inferior de
.
2. Dado , pela definição de supremo de
existe
com
2. Dado
Multiplicando por
dá
mostrando que não há cota inferior maior que
.
Logo .
Logo
Resposta
a)
b)