Determine o número de divisores pares do número N=2^x times 5 times 7^x, sabendo que o mesmo possui 12 divisores ímpares.

Passo 1

O número dado é
N = 2^x times 5^1 times 7^x
Sabemos que, para um inteiro com fatoração p1^a1p2^a2cdots, o número de divisores é
prodi (ai + 1)
Para contar apenas os divisores ímpares, desconsideramos o fator 2 e usamos apenas os expoentes de 5 e 7.

Passo 2

O número de divisores ímpares de N é dado por
(1+1),(x+1) ;=; 2(x+1)
Como esse total é 12, temos
2(x+1) = 12 Longrightarrow x+1 = 6 Longrightarrow x = 5

Passo 3

Com x = 5, a fatoração fica 2^5cdot5^1cdot7^5. Assim, o número total de divisores de N é
(5+1),(1+1),(5+1) = 6 times 2 times 6 = 72

Passo 4

Os divisores pares são todos os divisores menos os ímpares. Logo,
#pares = 72 - 12 = 60

Resposta

60

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