Calcule o valor de x, de modo que o número 2^x times 3^4 admita 20 divisores.

Passo 1

O enunciado pede o valor de x tal que o número
N = 2^xtimes 3^4
tenha exatamente 20 divisores.
O conteúdo é a fórmula do número de divisores de um inteiro a partir de sua fatoração prima: se
N = p1^a1;p2^a2cdots pk^ak,
então o número de divisores de N é
d(N) = (a1+1)(a2+1)cdots(ak+1)

Passo 2

Aqui temos apenas dois fatores primos, 2 e 3, com expoentes a1=x e a2=4. Logo
N = 2^a1;3^a2 com a1=x,;a2=4

Passo 3

Aplicando a fórmula do número de divisores:
d(N) = (x+1),(4+1) = (x+1)cdot 5
Queremos d(N)=20, então deve valer
(x+1)cdot 5 = 20

Passo 4

Resolvendo a equação para x:
x+1 = 205 = 4 Longrightarrow x = 4 - 1 = 3

Resposta

3

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