Use o teorema de Wilson para provar que as soluções de
x^2+1 equiv 0(bmod p) ; p=4 m+1( primo )
são pm 1 cdot 2 ldots 2 m(bmod p).
Resoluçāo: Se a e b sāo soluções dessa congruência, então a^2+1 equiv b^2+1(bmod p) e daí (a-b)(a+b) equiv 0(bmod p). Logo, considerando que p é primo, b equiv a(bmod p) ou b equiv-a(bmod p).
Observemos porém que, como p=4 m+1:(p-1)!+1= =(p-1)(p-2) ldots(p-2 m)(2 m)(2 m-1) ldots 2 cdot 1+1
equiv(2 m)^2(2 m-1)^2 ldots 2^2 cdot 1^2+1 equiv 0(bmod p)
devido ao teorema de Wilsòn e ao fato de que p-1 equiv-1(bmod p), p-2 equiv-2(bmod p), ldots, p-2 m equiv-2 m(bmod p), onde o número de congruências é 2 m (par). Logo (2 m)(2 m-1) ldots 2 cdot 1 é uma soluçāo de x^2+1 equiv 0(bmod p), o que conclui o exercício, levando em conta a observação inicial.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções da congruência
x^2+1equiv0pmod p, p=4m+1 primo,
usando o Teorema de Wilson, que diz
(p-1)!equiv-1pmod p
Vamos precisar também do fato de que, em um corpo finito de ordem p, uma equação quadrática tem no máximo duas soluções, e que se a é solução então a outra só pode ser -a.

Passo 2

Primeiro mostramos que as soluções são únicas a sinal trocado. Se a e b satisfazem
a^2+1equiv0, b^2+1equiv0pmod p,
então
a^2equiv b^2pmod pLongrightarrow (a-b)(a+b)equiv0pmod p
Como p é primo, isso implica bequiv apmod p ou bequiv -apmod p. Logo há no máximo duas soluções, simetricamente pm a.

Passo 3

Agora usamos Wilson para exibir explicitamente uma raiz quadrada de -1. Escrevemos
(p-1)! ;=; 1cdot2cdots(2m);times;(p-1)(p-2)cdots(p-2m)
Pela congruência p-kequiv -kpmod p para 1<= k<= 2m, segue
(p-1)!equiv (2m)!;times;prodk=1^2m(p-k) equiv (2m)!;times;prodk=1^2m(-k) ;=;(2m)!;(-1)^2m;(2m)! ;=;l((2m)!r)^2 pmod p
Pelo Teorema de Wilson ,(p-1)!equiv -1pmod p, então
l((2m)!r)^2equiv -1pmod p,
ou seja
l((2m)!r)^2+1equiv0pmod p

Passo 4

Portanto x=(2m)! satisfaz x^2+1equiv0pmod p. Pelas observações do Passo 2 a outra solução é - (2m)!.

Resposta

As soluções da congruência são
xequiv pm,l(2mr)!pmod p

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