Use o teorema de Wilson para provar que as soluções de
são
.
Resoluçāo: Se a e b sāo soluções dessa congruência, então
e daí
. Logo, considerando que
é primo,
ou
.
Observemos porém que, como
devido ao teorema de Wilsòn e ao fato de que p-1
,
, onde o número de congruências é 2 m (par). Logo
é uma soluçāo de
, o que conclui o exercício, levando em conta a observação inicial.
Resoluçāo: Se a e b sāo soluções dessa congruência, então
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções da congruência
usando o Teorema de Wilson, que diz
Vamos precisar também do fato de que, em um corpo finito de ordem
, uma equação quadrática tem no máximo duas soluções, e que se
é solução então a outra só pode ser
.
Passo 2
Primeiro mostramos que as soluções são únicas a sinal trocado. Se
e
satisfazem
então
Como
é primo, isso implica
ou
. Logo há no máximo duas soluções, simetricamente
.
Passo 3
Agora usamos Wilson para exibir explicitamente uma raiz quadrada de
. Escrevemos
Pela congruência
para
, segue
Pelo Teorema de Wilson
, então
ou seja
Passo 4
Portanto
satisfaz
. Pelas observações do Passo 2 a outra solução é
.
Resposta
As soluções da congruência são