Determine o número de soluções de
.
Sugestão: Faça os gráficos de
e
.
Observe que
.
Observe que
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções reais da equação
O conteúdo aqui é o estudo da interseção de uma função exponencial
com uma função polinomial
. Para resolver, vamos analisar valores especiais, comportamento nos extremos e usar continuidade para contar quantas vezes elas se cruzam.
Passo 2
Primeiro, achamos soluções inteiras por inspeção:
enquanto
Logo,
e
são duas soluções.
Passo 3
Agora examinamos para
. Defina
Quando
,
e
, logo
. Em
, temos
Como
é contínua, existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 4
Para ver que há exatamente uma raiz em
, observamos a derivada
Se
então
e
, logo
. Assim
é estritamente crescente em
e só pode cruzar o zero uma vez. Portanto há exatamente uma solução negativa.
Passo 5
Restam as regiões entre os zeros já achados. Note que
e para um valor intermediário, por exemplo
,
Isso mostra que não há outras raízes em
nem em
. Para
, como
cresce muito mais rápido que
, temos
e não surgem novos cruzamentos.
Resposta
O número total de soluções reais da equação
é 3.