Determine o número de soluções de 2^x=x^2.
Sugestão: Faça os gráficos de f(x)=x^2 e g(x)=2^x.
Observe que 2^100>100^2.

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções reais da equação
2^x=x^2
O conteúdo aqui é o estudo da interseção de uma função exponencial ,g(x)=2^x, com uma função polinomial ,f(x)=x^2,. Para resolver, vamos analisar valores especiais, comportamento nos extremos e usar continuidade para contar quantas vezes elas se cruzam.

Passo 2

Primeiro, achamos soluções inteiras por inspeção:
2^2=4e 2^4=16,
enquanto
2^2=2^2=4 e 2^4=4^2=16
Logo, x=2 e x=4 são duas soluções.

Passo 3

Agora examinamos para x<0. Defina
h(x)=2^x-x^2
Quando xto-infty, 2^xto0 e x^2to+infty, logo h(x)to-infty. Em x=0, temos
h(0)=2^0-0^2=1>0
Como h é contínua, existe pelo menos uma raiz em (-infty,0).

Passo 4

Para ver que há exatamente uma raiz em (-infty,0), observamos a derivada
h'(x)=2^xln2-2x
Se x<0 então 2^xln2>0 e -2x>0, logo h'(x)>0. Assim h é estritamente crescente em (-infty,0) e só pode cruzar o zero uma vez. Portanto há exatamente uma solução negativa.

Passo 5

Restam as regiões entre os zeros já achados. Note que
h(0)=1>0, h(2)=0, h(4)=0,
e para um valor intermediário, por exemplo x=3,
h(3)=2^3-3^2=8-9=-1<0
Isso mostra que não há outras raízes em (0,2) nem em (2,4). Para x>4, como 2^x cresce muito mais rápido que x^2, temos h(x)>0 e não surgem novos cruzamentos.

Resposta

O número total de soluções reais da equação 2^x=x^2 é 3.

Exercícios de Livros Relacionados