Determine o parâmetro m para que a equação:
(2 m-1) x^2-(3 m+2) x+m+3=0
admita duas raizes x1 e x2, tais que x1<2<x2.
Soluçāo:
A condiçāo (Única) è: ali alpha ) <0.
Temos.
a=2 m-1 f(alpha)=f(2)=(2 m-1) 2^2-(3 m+2) 2+m+3=3 m-5
Então:
(2 m-1)(3 m-5)<0
e dai a resposta 12<m<53.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
(2m-1)x^2 - (3m+2)x + (m+3) = 0
e pede os valores de m para que ela tenha duas raízes reais x1<x2 com x1<2<x2.
Para isso precisamos de três coisas:
1. A equação ser realmente quadrática: aneq0.
2. Ter duas raízes reais distintas: De<a>0.
3. O ponto x=2 ficar entre as raízes, o que equivale a exigir acdot f(2)<0.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma ax^2 + bx + c:
a = 2m-1, b = -(3m+2), c = m+3
A condição de duas raízes reais distintas é
De<a = b^2 - 4ac > 0

Passo 3

Calculando o discriminante:
De<a = (3m+2)^2 - 4(2m-1)(m+3)
Expandindo,
(3m+2)^2 = 9m^2 +12m +4, (2m-1)(m+3) = 2m^2+5m-3,
então
De<a = 9m^2+12m+4 - 4(2m^2+5m-3) = 9m^2+12m+4 -8m^2-20m+12 = m^2 -8m +16 = (m-4)^2
Logo De<a>0 sempre que mneq4.
Além disso, para ser quadrática precisamos aneq0, ou seja 2m-1neq0 Rightarrow mneqtfrac12.

Passo 4

Agora exigimos que x=2 fique entre as raízes, ou seja
acdot f(2)<0
Calculando
f(2) = (2m-1)cdot4 ;-;(3m+2)cdot2 ;+;(m+3) = 8m-4 ;-;6m-4 ;+;m+3 = 3m-5
Portanto a condição é
(2m-1),(3m-5)<0

Passo 5

Resolvendo
(2m-1)(3m-5)<0
os zeros são m=tfrac12 e m=tfrac53, e a inequação fica satisfeita para
tfrac12 < m < tfrac53
Como esse intervalo exclui tfrac12 e não chega a 4, também garante De<a>0 e aneq0.

Resposta

boxedtfrac12 < m < tfrac53

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