A parabola de equação y=a x^2+b x+c passa pelo ponto (1, 6) e o seu verlice é o ponto -1 ; 2. Delermine a, b e c.

Soluçāo:

O ponto (1; 6) pertence á parábola; então, sua equação fica setisfeita se fizermos a substituição x=1 e y=6.
& a+b+c=6(1) & V(-1,2) Rightarrow -b2 a=-1 e -(b^2-4 a c)4 a=2, e dai & b=2 a(11) & -b^2+4 a c=8 a(111)
Substituindo (1) em (1), abtém-se:
3 a+c=6
e dai c = 6-3a (IV)
Substitumdo (II) e (IV) em (III), obternos:
-4 a^2+4 a(6-3 a)=8 a -16 a^2+16 a=0
e dai: -16 a(a-1)=0la=0 (rejeitada pois a neq 0 ) |a=1|
Para a=1, obtém-se em (II) e (IV): b=2 ec =3.

Passo 1

O enunciado diz que a parábola
y = a x^2 + b x + c
passa por (1,6) e tem vértice em (-1,2).
Para resolver precisamos usar duas propriedades:
  • A abscissa do vértice de y=ax^2+bx+c é xv = -tfracb2a.
  • A imagem no vértice é yv = f(xv).

Passo 2

Da abscissa do vértice temos
-b2a = -1
logo
b = 2a

Passo 3

Como a parábola passa por (1,6),
f(1) = a + b + c = 6
Substituindo b=2a obtemos
3a + c = 6

Passo 4

Como o vértice tem ordenada 2,
f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = 2,
isto é,
a - b + c = 2
Substituindo b=2a
-a + c = 2 Longrightarrow c = 2 + a

Passo 5

Igualando as duas expressões para c:
3a + c = 6 e c = 2 + a
levam a
3a + (2 + a) = 6 Longrightarrow 4a + 2 = 6 Longrightarrow a = 1

Passo 6

Finalmente,
b = 2a = 2, c = 2 + a = 3

Resposta

a = 1, b = 2 e c = 3.

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