1. Determine os pares de números, onde a soma deles seja 168 e o mdc igual a 24 .

Passo 1

O enunciado pede encontrar x,yinN tais que
x+y=168
e
gcd(x,y)=24
O conteúdo a usar é a propriedade do máximo divisor comum: se gcd(x,y)=d, então existem a,b coprimos com
x=d,a, y=d,b

Passo 2

Aqui temos d=24, logo
x=24a, y=24b,
e a soma vira
24a+24b=168
ou seja
a+b=16824=7,
com a condição extra gcd(a,b)=1. Então precisamos dos pares positivos (a,b) que somam 7 e são coprimos.

Passo 3

Os pares positivos que somam 7 são
(1,6),;(2,5),;(3,4),;(4,3),;(5,2),;(6,1)
Destes, todos satisfazem gcd(a,b)=1 (porque 1,6; 2,5; 3,4 não têm divisores comuns além de 1). Assim, as soluções “essenciais” são
(a,b)=(1,6),;(2,5),;(3,4),
lembrando que a ordem também pode ser invertida.

Passo 4

Voltando a x=24a e y=24b, obtemos
(x,y)=(24cdot1,24cdot6)=(24,144), (24cdot2,24cdot5)=(48,120), (24cdot3,24cdot4)=(72,96),
e, invertendo a ordem, (144,24), (120,48) e (96,72).

Resposta

Os pares de números cuja soma é 168 e cujo gcd vale 24 são
(24,144),(48,120),(72,96)
e também as suas inversões (144,24), (120,48), (96,72).

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