1. Ao separar o total de figurinhas em grupos de 12, de 15 ou de 24, uma criança observou que sobravam sempre 7. Sendo o total de figurinhas compreendido entre 120 e 240, qual é o numero de figurinhas?
    a) 149
    b) 202
    c) 127
    d) 216
    e) 120

Passo 1

O problema pede um número N de figurinhas, com 120 <= N <= 240, que ao ser dividido por 12, 15 ou 24 deixe sempre resto 7. O conteúdo é sistemas de congruências e uso de mínimo múltiplo comum.

Passo 2

As condições de resto 7 escrevem-se como
N equiv 7 pmod12, N equiv 7 pmod15, N equiv 7 pmod24
Isso equivale a dizer que N-7 é múltiplo de 12, de 15 e de 24 simultaneamente.

Passo 3

Para que N-7 seja múltiplo de todos, ele deve ser múltiplo do mínimo múltiplo comum:
lcm(12,15,24)
Fatorando: 12=2^2cdot3, 15=3cdot5, 24=2^3cdot3. Portanto
lcm(12,15,24)=2^3cdot3cdot5=120

Passo 4

A solução geral é
N = 120k + 7, kinZ
Queremos 120 <= N <= 240. Para k=1 vem N=127. Para k=2 vem N=247>240. Logo a única solução no intervalo é
N = 127

Resposta

127

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