1. Observe as seguintes proposições:
I - O mmc de dois números primos entre si, é obtido multiplicando-os;
II - O produto de dois números naturais, diferentes de zero, é igual ao produto do mdc pelo mmc deles;
III - Suponha dois números naturais diferentes de zero. Se um deles for múltiplo de todos os outros, ele será o mmc dos números dados.
Quantas são verdadeiras?
a) 1
b) 2
c) 3
d) zero

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre o mínimo múltiplo comum (mmc) e o máximo divisor comum (mdc) de dois números naturais não nulos e pede quantas delas são verdadeiras. Vamos usar as definições e propriedades básicas de mmc e mdc:
mdc(a,b) é o maior inteiro que divide a e b.
mmc(a,b) é o menor inteiro múltiplo de a e b.
– A relação fundamental é
mmc(a,b)=a,bmdc(a,b)

Passo 2

Analisando a I: “O mmc de dois números primos entre si é obtido multiplicando-os.”
Se mdc(a,b)=1, então da fórmula acima
mmc(a,b)=a,b1=a,b
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a II: “O produto de dois números naturais, diferentes de zero, é igual ao produto do mdc pelo mmc deles.”
Esta é exatamente a identidade
a,b=mdc(a,b)timesmmc(a,b),
que vale para quaisquer a,binN^*. Logo, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a III: “Se um deles for múltiplo de todos os outros, ele será o mmc dos números dados.”
No caso de dois números a e b, se b é múltiplo de a (isto é, amid b), então o menor múltiplo comum de a e b é exatamente b. Logo, III é verdadeira.

Passo 5

As três afirmações são verdadeiras.

Resposta

c) 3

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