- Observe as seguintes proposições:
I - O mmc de dois números primos entre si, é obtido multiplicando-os;
II - O produto de dois números naturais, diferentes de zero, é igual ao produto do mdc pelo mmc deles;
III - Suponha dois números naturais diferentes de zero. Se um deles for múltiplo de todos os outros, ele será o mmc dos números dados.
Quantas são verdadeiras?
a) 1
b) 2
c) 3
d) zero
II - O produto de dois números naturais, diferentes de zero, é igual ao produto do mdc pelo mmc deles;
a) 1
b) 2
c) 3
d) zero
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre o mínimo múltiplo comum (mmc) e o máximo divisor comum (mdc) de dois números naturais não nulos e pede quantas delas são verdadeiras. Vamos usar as definições e propriedades básicas de mmc e mdc:
– é o maior inteiro que divide
e
.
– é o menor inteiro múltiplo de
e
.
– A relação fundamental é
–
–
– A relação fundamental é
Passo 2
Analisando a I: “O mmc de dois números primos entre si é obtido multiplicando-os.”
Se , então da fórmula acima
Se
Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a II: “O produto de dois números naturais, diferentes de zero, é igual ao produto do mdc pelo mmc deles.”
Esta é exatamente a identidade
Esta é exatamente a identidade
que vale para quaisquer
. Logo, II é verdadeira.
Passo 4
Analisando a III: “Se um deles for múltiplo de todos os outros, ele será o mmc dos números dados.”
No caso de dois números e
, se
é múltiplo de
(isto é,
), então o menor múltiplo comum de
e
é exatamente
. Logo, III é verdadeira.
No caso de dois números
Passo 5
As três afirmações são verdadeiras.
Resposta
c) 3