34 Determine o perímetro de um dodecágono regular cujos vértices estão na circunferência unitária.

Passo 1

O enunciado pede o perímetro de um dodecágono regular inscrito na circunferência de raio R=1.
Conteúdo: geometria de polígonos regulares e trigonometria no círculo.
Vamos usar que em um polígono regular de n lados inscritos num círculo de raio R cada lado é a corda correspondente ao ângulo central 2\pi/n, e que o comprimento de uma corda de ângulo \alpha é
l = 2R\sin\bigl(\tfrac{\alpha}{2}\bigr).

Passo 2

Para o dodecágono temos n=12, portanto o ângulo central é
\alpha = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}.
Logo o comprimento de cada lado vale
l = 2R\,\sin\!\bigl(\tfrac{\alpha}{2}\bigr) = 2\cdot1\;\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr) = 2\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr).

Passo 3

Precisamos de \sin(\pi/12) (ou \sin 15^\circ). Usando a fórmula do semien-ângulo:
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr) = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi/6}{2}\bigr) = \sqrt{\frac{1-\cos(\pi/6)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.

Passo 4

Substituindo em l:
l = 2\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{12}\bigr) = 2\cdot\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{2}.

Passo 5

O perímetro P do dodecágono é 12 vezes o lado l:
P = 12\,l = 12 \cdot \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{2} = 6\bigl(\sqrt6 - \sqrt2\bigr).

Resposta

6\bigl(\sqrt6 - \sqrt2\bigr)

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